рала
де n=10, обчислення провести до 4 знаків после комі.
розв язання:
Маємо, обчіслімо:
За формулою (6) маємо:
Відповідь:
Два отриманий набліженіх результаті у прікладі 1 та 2 мают примерно Однаково точність - смороду відрізняються від дійсного значення менше чем на 0,0005.
.4 Параболічна формула (формула Сімпсона) обчислення визначених інтегралів
Если у визначеня інтегралі вместо Функції взяти квадратний трічлен, графік, которого проходити через три точки, то дістанемо набліжену Рівність
Оскількі графік квадратного трічлена проходити через точки A, B, і С, то КОЕФІЦІЄНТИ цього трічлена задовольняють Рівняння:
Вікорістовуючі ЦІ Рівняння, вирази, что стоит у правій части формули (7), можна замініті рівнім Йому вирази
После цього формулу (7) перепішемо у виде
Если - неперервно невід ємна функція на відрізку то набліженій рівності (8) можна дати геометричність Тлумачення. Тут за набліжене значення площади кріволінійної трапеції (рис. 1.4.1) ми прийнять площу Другої кріволінійної трапеції, яка відрізняється Від першої только тім, что зверху вона обмежена НЕ графіком Функції, а параболи, яка проходити через точки, что лежати на крівій.
рис. 1.4.1
Щоб визначеня інтеграл обчісліті з більшою точністю, відрізок розділімо на 2n рівніх відрізків, с помощью розбіття
де
І, застосувались формулу (8) до шкірного відрізка [, Який складається з двох відрізків [дістанемо:
Набліжена Рівність
де назівається параболічною формулою або формулою Сімпсона.
Приклад 3. Застосовуючі формулу Сімпсона обчісліті набліжене значення відомого інтеграла
розв язання:
Візьмемо n=2, обчислення Проведемо до 5 знаків после комі.
Оскількі, то маємо:
За формулою (9) маємо:
Відповідь: І (всі п ять знаків Вірні).
Розділ 2. Абсолютні похібкі набліженого обчислення визначених інтегралів
.1 Абсолютна похібка формули прямокутніків
Для кожної набліженої рівності Важлива знати абсолютно похібку. Оцінімо абсолютний похібку в набліженій рівності (4) (Формулі прямокутніків) при умові, что неперервно на відрізку Если для х, то
Таким чином, абсолютна похібка в Формулі прямокутніків оцінюється помощью нерівності
при умові, что неперервно на відрізку и
2.2 Абсолютна похібка формули трапеції
Оцінімо абсолютний похібку в Формулі трапеції при умові, что похідна іншого порядку неперервно на відрізку и
Для цього розглянемо функцію:
на відрізку Чи не Важко помітіті, что
Оскількі
Звідсі
Таким чином, абсолютна похібка в Формулі трапецій (6) оцінюється помощью нерівності
при умові, что неперервно на відрізку и
2.3 Абсолютна похібка параболічної формулою (формулою Сімпсона)
Оцінімо абсолютний похібку в Цій Формулі при умові, что похідна четвертого порядку неперервно на відрізку и для.
Спочатку оцінімо абсолютний ошибку в набліженій рівності (8) (Формулі Сімпсона). Для цього розглянемо Допоміжні Функції:
Де
Зрозуміло, что дорівнює різниці лівої и правої частин набліженої рівності (10), так что и є абсолютна помилка цієї набліженої рівності.
Продіференціювавші функцію трьох разї и застосувались теорему Лагранжа про скінченній ПРИРІСТ, дістанемо:
Оскількі,, то за Теорема Ролля знайдеться точка t 1, в Якій. Зазначилися, что, за Теорема Ролля маємо, де.
Оскількі, то застосувались ще раз теорему Ролля, дістанемо, де. Звідсі тобто
Отже,
Вікор...
