(9) Прийма вигляд:
Позначімо розв язок наступної задачі Коші:
(26)
Знову, відповідно до локальної теореми Існування и єдіності можна підібраті такі? 3 gt; 0 и? 3 gt; 0, что определена при
а в силу теореми про діференціальної залежності РІШЕНЬ від початкових даних функція v3 є неперервно-діференційованою по сукупності змінніх.
Покладемо і. Если вібрать так, что, то при маємо
.
Зокрема функція
.
Зокрема функція x? (t), як суперпозіція неперервно діференційованіх функцій, сама є неперервно діференційованою по (t ,?) при,.
Так як функція неперервно у точці, причому, а функція неперервно у точці, то, віходячі з аналогії, переконуємося, что для достаточно малого значення при, віконується нерівність
Оскількі для віконується нерівність (19), а для віконується нерівність (22), то для будь-которого? gt; 0 знайдеться таке, (), что для будь-которого, маємо
(27)
Перейдемо від Рівняння (26), з початково умів, до еквівалентного інтегрального Рівняння:
(28)
Діференціюючі це Рівняння по? и вважаючі? =0, знаходімо
де Визначи вищє. Покладемо
, (29)
Ця функція, будучи суперпозіцією неперервно-діференціюючіх функцій, сама неперервно діференційована по?, и віконані співвідношення:
(30)
Отже, для ми отримавших
(31)
Отже, ми отримавших всі тверджень Лемі для неперервно управління. Залиша Розглянуто випадок, коли управління є кусочно-неперервно функцією. Для цього поступімо Наступний чином. Для простоти нехай точок розріву буде две, скажемо? 1 та? 2. Такоже Припустиме, что точка?, У Якій винне буті неперервно, розташована между ними:. На відрізку [t0,? 1] Диференціальні рівняння (13) і (14), в якіх при t =? 1 нужно вважаті управління рівнім его граничних значень, збігаються и за теореми єдіності, при.
Тепер перейдемо до відрізка [? 1; ? 2], знову вважаючі на его границях управління рівнім граничних значень при t =? 1 та при t =? 2. Тут ми вірішуємо Диференціальні рівняння (13) і (14) з початково умів. Щодо точки Можливі три ситуации:
)
)
).
Розбіраючі окремо ЦІ ситуации, переконуємося, что в Кожній з них Вірні всі тверджень Лемі. Отже, лема Повністю доведена и для загально випадка, коли керування є кусково-неперервно функцією.
. 3 Моделювання оптимального економічного зростання
Опішемо модель национальной економіки, яка булу предложено в 1956 году Р. Солоу, Нобелівськім лауреатом тисячі дев'ятсот вісімдесят сім р. в області економіки.
У замкнутій односекторній Економічній сістемі віробляється одна універсальний продукт, Який может як спожіватіся, так и інвестуватіся. Основні припущені моделі Солоу складаються в сталості темпу приросту числа зайнятості, ЗНОС основних виробничих ФОНДІВ и норми Накопичення, відсутності лага (тобто запізнення) капіталовкладень.
Стан економіки в момент годині t візначається Наступний Показники:
· валового випуском X (t);
· КАПІТАЛОМ (основних фондів) K (t);
· числом зайнятості у виробничій сфере L (t);
· валового інвестиціями I (t);
· фондом невіробнічого споживання C (t).
Нехай річний темп приросту кількості зайнятості ставити n, тоді за проміжок годині dt ЧИСЕЛЬНІСТЬ зайнятості змінюється на величину dL=n L (t) dt, значити, для L (t) можна Записатись діференціальне Рівняння
розв язком которого є функція
Де- Кількість зайнятості в початковий момент годині.
Нехай за рік вібуває (зношується и приходити в?? епрідатність) частина? основних виробничих ФОНДІВ, норма Накопичення ставити? , А річний валовий Внутрішній продукт візначається лінійно-однорідною неокласичного виробничою функцією X=F (K, L).
Тоді знос та інвестиції в розрахунку на рік дорівнюють? K (t) та I (t) =? X (t) =? F (K (t), L (t)) відповідно, лаг капіталовкладень відсутній, це означає, ПРИРІСТ ФОНДІВ за проміжок годині dt склад...
