є вектори регресорів розмірності, тобто i=1, 2, ..., n.
Тоді умови гіпотез 1-3 в матричній формі матимуть вигляд:
) Ї специфікація моделі.
) X Ї детермінована матриця, що має максимальний ранг, рівний k.
),
де Ї одинична матриця.
) ~ тобто Ї нормально розподілений випадковий вектор з середнім 0 і матрицею коваріацій
Як і у випадку регресійного рівняння з однією змінною, метою методу є вибір вектора оцінок, минимизирующего суму квадратів залишків (тобто квадрат довжини вектора залишків e):
Ї min.
Застосовуючи необхідні умови мінімуму з використанням диференціювання по вектору отримаємо:
звідки, враховуючи невироджене матриці знаходимо оцінку методу найменших квадратів (МНК):
(1.33)
Теорема Гаусса-Маркова стверджує, що модель з гіпотезами 1-3 має оцінку МНК найбільш ефективну (в сенсі найменшою дисперсії) оцінку в класі лінійних (по Y) незміщене оцінок.
2. Практична частина
. 1 Характеристика екзогенних і ендогенних змінних
У практичній частині роботи будуть проведені дослідження залежності між пояснюється (екзогенної) змінної у Ї індекс людського розвитку в ряді держав світу та пояснюють (ендогенними) змінними: х 1 Ї ВВП 1997р.,% до 1990р. і х 6 Ї очікувана тривалість життя при народженні 1997р., число років. Значення змінних наведені в Таблиці 2.1
Таблиця 2.1 - Вихідні дані
Странаух 1 х 6 Австрия0,904115,077,0Австралия0,922123,078,2Белоруссия0,76374,068,0Бельгия0,923111,077,2Великобритания0,918113,077,2Германия0,906110,077,2Дания0,905119,075,7Индия0,545146,062,6Испания0,894113,078,0Италия0,900108,078,2Канада0,932113,079,0Казахстан0,74071,067,6Китай0,701210,069,8Латвия0,74494,068,4Нидерланды0,921118,077,9Норвегия0,927130,078,1Польша0,802127,072,5Россия0,74761,066,6США0,927117,076,7Украина0,72146,068,8Финляндия0,913107,076,8Франция0,918110,078,1 Побудуємо графіки залежності результативної ознаки від кожного фактора окремо, використовуючи MS Excel for Windows:
Малюнок 2.1 Ї Графік залежності у від х 1
Малюнок 2.2 Ї Графік залежностіу від х 6
На обох графіках простежується переважно лінійна форма залежності між змінними, тому можна висловити припущення про лінійній формі залежності у від обох факторів.
Розрахуємо парні коефіцієнти кореляції, застосовуючи формули:
(2.1)
(2.2)
де середні значення перебувають так:
(2.3)
(2.4)
(2.5)
(2.6)
Таблиця 2.2 Ї Розрахункова таблиця для визначення парних коефіцієнтів кореляції
Странаух 1 х 6 (х 1) 2 х 1 х 6 у х 1 у х 6 у 2 Австрия0,90411577132258855103,9669,6080,817216Австралия0,92212378,2151299618,6113,40672,10040,850084Белоруссия0,76374685476503256,46251,8840,582169Бельгия0,92311177,2123218569,2102,45371,25560,851929Великобритания0,91811377,2127698723,6103,73470,86960,842724Германия0,90611077,212100849299,6669,94320,820836Дания0,90511975,7141619008,3107,69568,50850,819025Индия0,54514662,6213169139,6 79,5734,1170,297025Испания0,89411378127698814101,02269,7320,799236Италия0,910878,2116648445,697,270,380,81Канада0,93211379127698927105,31673,6280,868624Казахстан0,747167,650414799,652,5450,0240,5476Китай0,70121069,84410014658147,2148,92980,491401Латвия0,7449468,488366429,669,93650,88960,553536Нидерланды0,92111877,9139249192,2108,67871,74590,848241Норвегия0,92713078,11690010153120,5172,39870,859329Польша0,80212772,5161299207,5101,85458,1450,643204Россия0,7476166,637214062,645,56749,75020,558009США0,92711776,7136898973,9108,45971,10090,859329Украина0,7214668,821163164,833,16649,60480,519841Финляндия0,91310776,8114498217,697,69170,11840,833569Франция0,91811078,1121008591100,9871,69580,842724Чехия0,83399,273,99840,647330,8882,633661,55870,693889Швейцария0,91410178,6102017938,692,31471,84040,835396Швеция0,92310578,5110258242,596,91572,45550,851929У21,2427411860,6322770,6204586,62328,931592,2818,29687Ср.знач.0,849109,674,42412910,828183,46793,157363,69140,7319
Отримаємо розрахункові значення:
Аналіз показує, що залежна змінна у має тісний зв'язок з х 6 (ryx 6=0,9620) і менш тісний, дуже слабку зв'язок з х 1 (ryx 1=- 0,0043).
Фактори x1 і x6 не затісно пов'язані між собою (= 0,1633), що свідчить про відсутність між ними коллінеарності.
.2 Побудова двухфакторного рівняння регресії
Побудуємо рівняння множинної регресії в лінійній формі з двома чинниками.
Лінійне рівняння множинної регресії має вигляд:
де (j=1, k) - стандартизовані коефіцієнти ...
