...
Тоді: 1) з збіжності ряду (3.2) слід збіжність ряду (3.1);
) з расходимости ряду (3.1) слід расходимость ряду (3.2).
Доказ . 1. Нехай ряд (3.2) збігається і його сума дорівнює В. Послідовність часткових сум ряду (3.1) є неубивающей обмеженої зверху числом В, тобто
Тоді в силу властивостей таких послідовностей слід, що вона має кінцевий межа, тобто ряд (3.1) сходиться.
. Нехай ряд (3.1) розходиться. Тоді, якщо ряд (3.2) сходиться, то в силу доведеного вище пункту 1 сходився б і вихідний ряд, що суперечить нашому умові. Отже ряд (3.2) також розходиться.
Ця ознака зручно застосовувати до визначення збіжності рядів, порівнюючи їх з рядами, збіжність яких вже відома.
Ознака Даламбера
Нехай члени позитивного ряду (1.1) такі, що існує межа
Тоді: 1) при q lt; 1 ряд (1.1) сходиться;
) при q gt; 1 ряд (1.1) розходиться;
) при q=1 про збіжність ряду (1.1) нічого сказати не можна, необхідні додаткові дослідження.
Зауваження: Ряд (1.1) буде розходитися і в тому випадку, коли
Ознака Коші
Нехай члени позитивного ряду (1.1) такі, що існує межа
Тоді: 1) при q lt; 1 ряд (1.1) сходиться;
) при q gt; 1 ряд (1.1) розходиться;
3) при q=1 про збіжність ряду (1.1) нічого сказати не можна, необхідні додаткові дослідження.
Інтегральний ознака Коші - Маклорена
Нехай функція f (x) безперервна неотрицательная незростаюча функція на проміжку
Тоді ряд і невласний інтеграл сходяться чи розходяться одночасно.
.3 Завдання
Числові ряди застосовуються не тільки в математиці, але і в ряді інших наук. Хотілося б навести декілька прикладів такого використання.
Наприклад, для дослідження властивостей структур уламкових порід. На практиці використання поняття «структура» в основному звелося до характеристиці розмірних параметрів зерен. У зв'язку з цим поняття «структура» в петрографії не відповідає поняттю «структура» в кристалографії, структурної геології та інших науках про будову речовини. В останніх «структура» більше відповідає поняттю «текстура» в петрографії і відображає спосіб заповнення простору. Якщо прийняти, що «структура »є просторовим поняттями, то наступні структури потрібно вважати беззмістовними: вторинні або первинні структури і текстури; кристалічні, хімічні, заміщення (роз'їдання, перекристалізації й т.д.), деформаційні структури, орієнтовані, залишкові структури та ін. Тому ці «структури» названі «хибними структурами».
Структура - це безліч структурних елементів, характеризуемое розмірами зерен і їх кількісними співвідношеннями.
При проведенні конкретних класифікацій зазвичай використовуються лінійні параметри зерна з послідовністю
хоча кількісні оцінки поширеності здійснюються через майданні (процентні) параметри. Ця послідовність може мати значну довжину і ніколи не будується. Зазвичай же говорять тільки про межах зміни параметрів, називаючи максимальні (max) і мінімальні (min) значення розмірів зерен.
Один з напрямків уявлення P4 - використання числових рядів, які будуються також як і зазначена вище послідовність, але замість (?) ставитися знак суми (+). Згортка всіх послідовностей здійснюється об'єднанням рівних елементів і складанням їх площ. Тоді маємо послідовність:
Вираз означає, що виміряна площа, займана усіма перетинами тих зерен i, розмір яких дорівнює.
Ця особливість зерен дозволяє проводити числовий аналіз отриманих співвідношень. По-перше, параметр можна розглядати як значення координатної осі і таким чином будувати деякий графік S=f (l). По-друге, послідовність (RSl) 1 можна ранжувати, наприклад, за зменьшенням коефіцієнтів, в результаті виходить ряд
Саме цей ряд і називається структурою даного перетину породи, він же є і визначенням поняття «структура». Параметр є елемент структури, а параметр k=- довжина структури. За побудовою n=k. Таке уявлення структури дозволяє проводити порівняння різних структур між собою.
Також, Бутусов Кирило Павлович Відкрив явище «резонансу хвиль биття», на основі чого сформулював «закон планетних періодів», через якого періоди звернень планет утворюють числові ряди Фібоначчі і Люка і довів, що «закон планетних відстаней» Йоганна Тіціуса є наслідок «резонансу хвиль биття» (1977). Одночасно виявив прояв «золотого перетину» і в розподілі ряду інших параметрів тіл Сонячної системи (1977). У зв'язку з цим веде роботу зі створення «золотий математики» - нової системи числення, заснованої на числі Фідія (1,6180339), більш адекватної завданням астрономії, біології, архітекту...
