вання, зрозуміло, що не зберігається; система здобуває Енергію за рахунок джерела зовнішньої сили. Візначімо повну Енергію, надіс Системі за увесь годину Дії сили (від -? до +?), пріпускаючі Початкова Енергію рівної нуля. Відповідно до формули (2,10) (з Нижнього межею інтегрування -? вместо нуля ї з
Оѕ (- в€ћ) = 0) маємо при t в†’ в€ћ :
В
Зх Іншого боку, енергія системи як такий дається вираженною
(2,11)
Підставівші сюди | Оѕ (в€ћ) | 2 , одержимо Шуканов передачу ЕНЕРГІЇ
у вігляді
(2,12)
вона візначається квадратом модуля компоненти Фур'є сили F (t) Із частотою, рівній власній частоті системи.
Зокрема, ЯКЩО зовнішня сила Діє позбав ПРОТЯГ короткого проміжку годині (малого в порівнянні з 1/П‰ ), ті можна покластись.
Тоді
В
цею результат заздалегідь очевидними: Він віражає собою тієї факт, что короткочасна сила сообщает Системі імпульс ∫ F dt , що не встигши за цею годину сделать помітного Зсув.
коливання систем з багатьма ступенями Волі
Теорія вільніх Коливань систем з декількома (s) ступенями Волі будується аналогічно того, Як було Розглянуто в одномірніх коливання.
Нехай потенційна енергія системи U як функція узагальнення координат qi (i = 1, 2,.,., S) має мінімум при qi = qi0 . Уводячи Малі Зсуви
xi = qi - qi0 (3,1)
и розкладаючі по них U з точністю до членів іншого порядку, одержимо потенційну Енергію у вігляді позитивно певної квадратічної форми
(3, 2)
де ми знову відраховуємо потенційну Енергію від ее мінімального значення. Оскількі КОЕФІЦІЄНТИ kik и kki входять в (3, 2) помножені на ту саму величину xi xk , ті ясно, что їх можна всегда вважаті симетрично по своих індексах
В
У кінетічній ж ЕНЕРГІЇ, что має в загально випадка вид
В
думаємо в коефіцієнтах qi = qi0 І, позначаючі постійні aik (qo) за помощью mik, одержуємо ее у вігляді позитивно певної квадратічної форми
(3,3)
КОЕФІЦІЄНТИ m lk теж можна всегда вважаті симетрично по індексах
mik = Mki
Таким чином, лагранжева функція системи, что Робить Вільні Малі коливання:
(3, 4)
Складемо тепер рівняння руху. Для визначення вхідніх у них похідніх напішемо повний діференціал Функції Лагранжа
В
Оскількі величина суми НЕ покладів, зрозуміло, від позначені індексів підсумовування, міняємо в первом ї третини членів у дужках i на k, ak на i; ж Огляду на при цьом сіметрічність Коефіцієнтів mik и kik, одержимо:
В
Звідсі видно, что
В
Тому рівняння Лагранжа
(3,5)
Смороду являютя собою систему s (i = l, 2, ..., s) лінійніх однорідніх діференціальніх рівнянь Із постійнімі коефіцієнтамі.
За Загальне правилами решение таких рівнянь шукаємо s невідоміх функцій xk (t) у вігляді
(3,6)
де Аk - деякі, поки невізначені, постійні. Підставляючі (3,6) у систему (3,5), одержуємо по скороченні на систему лінійніх однорідніх алгебраїчніх рівнянь, Яким повінні задовольняті постійні Аk:
(3,7)
Для того щоб ця система мала відмінні від нуля решение, винен Звертатися в нуль ее Визначник
(3,8)
Рівняння (3,8) - так званні характеристичностью рівняння - являє собою рівняння ступенів s відносно П‰ 2. Воно має в загально випадка s різніх Речовини позитивних корінь П‰ ВІ a,
а = 1, 2, ..., s (у окрем випадка деякі Із ціх корінь могут збігатіся). Певні в такий способ Величини П‰ а назіваються власними частотами системи.
Речовінність и позітівність корінь рівняння (3,8) заздалегідь очевідні Вже з фізичних міркувань. Дійсно, наявність в П‰ мнімої Частини означало б наявність у тімчасовій залежності координат хk (3,6) (о з ними й швидкостей x k ) експоненціальне убутного або експоненціальне ЗРОСТАЮЧИЙ множніка. Альо наявність такого множніка в цьом випадка непріпустімо, ТОМУ ЩО воно призвело б до Зміни Згідно сповненої ЕНЕРГІЇ E = U + T системи в суперечності із Законом ее Збереження.
У т ж самому можна переконатіся ї чисто математичность шляхом. Помноживши рівняння (3,7) на ї підсумовував потім по i , одержимо:
В
Звідки
В
Квадратічні форми в чисельників ї знаменніку цього вираженною речовінні чинності речовінності ї сіметрічності Коефіцієнтів kik и mik, Дійсно,
В
Смороду такоже істотно Позитивні, а того позитивно ї П‰ 2.
После того як частоти П‰ а знайдені, підставляючі Кожне з них у рів...
