, = ПЂ/4. p> 2) z = -2 +2 Г–3ОЇ;
Маємо: tg О± = 2Г–3/(-2) = -3. Тут а = -2, b = 2Г–3, тоб Радіус - вектор, Який відповідає даним комплексному числу, захи ІІ чверті. Отже, О± = ПЂ 2/3. p> 3) z =-1-ОЇ;
Маємо: tg О± = 1. Радіус - вектор, что відровідає даним комплексному числу, захи ІІІ чверті. Отже, О± = ПЂ 5/4. p> 4) z = 1-Г–3ОЇ;
Маємо: tg О± = -Г–3. Тут а = 1, b =-Г–3. Радіус - вектор, что відповідає даним комплексному числу, захи IV чверті. Отже, = ПЂ 5/3. p> в) трігонометрічна форма комплексного числа.
Нехай вектор ОА є геометричність збережений комплексного числа z = a + bОЇ (Дивіться Малюнок 7), модуль Якого дорівнює r, а аргумент О±. У прямокутній трикутнику АОС а = R cos О±, d = r sin О±. Підставляючі у запис комплексного числа вместо а та d їхні значення, а віражені через модуль и аргумент, дістанемо:
Z = r cos О± + ОЇr sin О±ОЇ = r (cos О± + ОЇsin О±).
вирази r (cos О± + sin О±ОЇ) назівається трігонометрічною формою комплексного числа. Будь - Яке число a + bОЇ, дане в алгебраїчній ФОРМІ, можна податі в трігонометрічній ФОРМІ. Модуль r знаходимо за формулою r = Г– a ВІ + b ВІ, а кут О± візначаємо Із залежності tg О± = b a, яка віпліває з формул cos О± = a r, sin О± = b r.
Приклади:
а) z = -1-Г–3ОЇ;
Маємо: r = Г– (-1) ВІ + (- Г–3) ВІ = 2; tg О± = Г–3; О± = 4ПЂ 3 + О n, n є Z.
Через ті, что Радіус - вектор, Який зображує число z = a + bОЇ, розміщеній у ІІІ чверті КОМПЛЕКСНОЇ площини, то за аргумент беремо О± = 4ПЂ 3 + ПЂn. Отже, -1-Г–3ОЇ = 2 (соs 4ПЂ 3 + ОЇ Sin 4ПЂ 3). p> б) z = ОЇ;
Тут а = 0, b = 1, отже, r = 1. Вектор, что зображує число ОЇ, утворює з віссю абсцис кут ПЂ 2 (Поясніть чому). Отже, ОЇ = cos ПЂ 2 + ОЇ sin ПЂ 2. p> в) z = 3.
Тут а = 3, b = 0, отже, r = 3.
3 = 3 (cos 0 + ОЇ sin 0).
Розглянемо Приклади переходь від трігонометрічної форми комплексного числа до алгебраїчної.
Приклади:
а) 2 (cos ПЂ 3 + ОЇ sin ПЂ 3) = 2 (1 2 + Г–3ОЇ 2) = 1 + Г–3ОЇ;
б) 4 (cos 2ПЂ 3 + ОЇ sin 2ПЂ 3) = 4 (-1 2 + Г–3ОЇ 2) = -2 + 2Г–3ОЇ.
г) множення и ділення комплексних чисел, записаних в трігонометрічній ФОРМІ.
Трігонометрічна форма Записів комплексних чисел віявляється Дуже зручне во время множення и ділення чисел. Нехай Z в‚Ѓ = r в‚Ѓ (cos О± в‚Ѓ + ОЇ sin О± в‚Ѓ), Z в‚‚ = r в‚‚ (cos О± в‚‚ + ОЇ sin О± в‚‚) - Два числа, что запісані в трігонометрічній ФОРМІ. Тоді
Z в‚Ѓ Z в‚‚ = r в‚Ѓ r в‚‚ (cos О± в‚Ѓ cos О± в‚‚ - sin О± в‚Ѓ sin О± в‚‚ + ОЇ sin О± в‚Ѓ cos О± в‚‚ + ОЉ sin О± в‚‚ cos О± в‚Ѓ), або Z в‚Ѓ Z в‚‚ = r в‚Ѓ r в‚‚ (cos (О± в‚Ѓ + О± в‚‚) + ОЇ sin (О‘ в‚Ѓ + О‘ в‚‚)). br/>
Отже, справедливість є Твердження: во время множення комплексних чисел у трігонометрічній ФОРМІ Модулі їх перемножуються, а аргументи додаються. Для знаходження Частки множимо чисельників и знаменнік на число, відмінюванні до знаменніка:
Z в‚Ѓ Z в‚‚ = r в‚Ѓ (cos О± в‚Ѓ + ОЇ sin О± в‚Ѓ) (cos О± в‚‚ - ОЉ sin О± в‚‚) r в‚‚ (cos О± в‚‚ + ОЉ sin О± в‚‚) (cos О± в‚‚ - ОЉ sin О± в‚‚) = R в‚Ѓ r в‚‚ х (cos (О± в‚Ѓ - О± в‚‚) + ОЇ sin (О‘ в‚Ѓ - О‘ в‚‚)) ( cos ВІ О± в‚‚ + ОЉ sin ВІ О± в‚‚) = r в‚Ѓ ( cos (О± в‚Ѓ - О‘ в‚‚) + ОЉ sin (О± в‚Ѓ - О‘ в‚‚)) r в‚‚. br/>
Отже, во время ділення комплексних чисел їх Модулі діляться, а аргументи віднімаюьтся.
Приклади. Віконаті множення и ділення комплексних чисел, записаних у трігонометрічній ФОРМІ.
а) Z в‚Ѓ = 3 (cos 7 В° + ОЇ sin 7 В°); Z в‚‚ = 8 (cos 15 В° + ОЇ sin 15 В°);
д) Подаємо без доведення правила піднесення до степеня комплексного числа, записаного в трігонометрічній ФОРМІ.
При будь - якому натуральному n
(cos О± + ОЇ sin О±) вЃї = cos nО± + ОЇ sin nО±.
Це Твердження назівається формулою Муавра.
Приклади. Віконаті Дії піднесення до щаблі даного комплексного числа.
Z = Г–3-ОЇ. Обчісліті Z.
Модуль даного числа дорівнює Г– (Г–3) ВІ +1 = 2, аргумент О± =-ПЂ 6, отже модуль числа Z дорівнює 2, аргумент 9О± =-9ПЂ 6 =-3ПЂ 2. Таким чином,
(Г–3-ОЇ) = 2 (Cos (-3ПЂ 2) + ОЇ sin (-3ПЂ 2)) = 512ОЇ. br/>
є) добування кореня з комплексного числа.
Корінь n - го ступеня з числа Z = r (cos О± + ОЇ sin О±) обчислюють за формулою
П‰ = Г–r (cos ((О‘ + 2 ПЂк) n) + ОЇ sin ((О± + 2 ПЂк) n)),
де до - Деяк ціле число (До є Z). p> Підставляючі вместо до значення 0, 1, 2 ... n - 1, дістанемо n різніх значень кореня. Так, ЯКЩО n = 2, к = 2 матімемо sin ((О± + 4 ПЂ) = sin О± 2 і так далі. p> Приклади. Знайте ВСІ Значення Г–1
Оскількі 1 = 1 (cos 0 + ОЇ sin 0), то
Г–1 (cos 0 + ОЇ sin 0) = 1 (cos ((0 + 2 ПЂк) 5) + ОЇ sin ((0 + 2 ПЂк) 5), до = 0, 1, 2, 3, 4. Надаючі до послідовно значення 0, 1, 2, 3, 4, видповидно дистанемо:
Z в‚Ѓ = 1, ЯКЩО до = 0;
Z в‚‚ = cos 2ПЂ 5 + ОЉ sin 2ПЂ 5, Я...
