> і b перевищить відстань між паралельними прямими, то є прямі c і a перетнуться.
Наведене доказ спирається на припущення, що відстань між двома паралельними прямими постійно (або, принаймні, обмежена). Згодом з'ясувалося, що це допущення рівносильно V постулату.
Після занепаду античної культури V постулатом зайнялися математики країн ісламу. Доказ ал-Джаухарі, учня ал-Хорезмі (IX століття), неявно передбачало: якщо при перетині двох прямих якої третьої навхрест-лежать кути рівні, то ж має місце при перетині тих же двох прямих будь-який інший. І це допущення рівносильно V постулату.
Сабіт ібн Куррі (IX століття) дав два докази; в першому він спирається на припущення, що якщо дві прямі віддаляються один від одного з одного боку, вони обов'язково наближаються з іншого сторони. У другому - виходить з існування рівновіддалених прямих, причому цей факт ібн Куррі намагається вивести з уявлення про В«просту русі В», тобто про рівномірному русі на фіксованій відстані від прямої (йому представляється очевидним, що траєкторія такого руху - теж пряма). Кожне з двох згаданих тверджень Ібн Курри еквівалентно V постулату. p> Аналогічну помилку зробив ібн ал-Хайсам, але він вперше розглянув фігуру, пізніше отримала назву В«чотирикутник Ламберта В»- чотирикутник, у якого три внутрішніх кута - прямі. Він сформулював три можливі варіанти для четвертого кута: гострий, прямий, тупий. Обговорення цих трьох гіпотез, в різних варіантах, багаторазово виникало в пізніших дослідженнях.
В
Поет і математик Омар Хайям піддав критиці спроби ввести в геометрію механічний рух. Він запропонував замінити V постулат на інший, простіший: дві сходяться прямі перетинаються, і неможливо, щоб дві сходяться прямі розходилися в напрямку сходження. Кожна з двох частин цього твердження рівносильна постулату Евкліда.
Ал-Абхарі запропонував доказ, схоже з доказом ал-Джаухарі. (Це доказ наводить у своїй книзі ас-Самарканд, і ряд дослідників вважав його доказом ас-Самарканд.) Він виходить з вірного в абсолютній геометрії твердження про те, що для всякої прямої, перетинає сторони даного кута, може бути побудована ще одна пряма, перетинає боку цього ж кута і віддалена від його вершини далі, ніж перша. Але з цього твердження він робить логічно необгрунтовану висновок про те, що через яку точку всередині даного кута можна провести пряму, що перетинає обидві сторони цього кута, - і засновує на цьому останньому затвердження, еквівалентному V постулату, все подальше доказ.
Насир ад-Дін ат-Тусі запропонував побудова, аналогічне побудови Омара Хайяма. Зазначимо, що твори ат-Тусі стали відомі Джону Валліс, і тим самим зіграли роль у розгортанні досліджень з неевклідової геометрії в Європі.
Першу в Європі відому нам спробу докази аксіоми паралельності Евкліда запропонував жив вПровансе (Франція) Герсонід (він же Леві бен Гершем, XIV століття). Його доказ спиралося на твердження про існування прямокутника.
До XVI століття відноситься доказ вченого-єзуїта Христофора Клавіуса. Доказ його, як і у ібн Куррі, грунтувалося на затвердження, що лінія, рівновіддалених від прямої - теж пряма.
Валліс в 1693 році в одній зі своїх робіт відтворює переклад твору ат-Тусі і пропонує еквівалентну, але більш просте формулювання: існують подібні, але не рівні фігури. Клеро у своїх В« Засадах геометрії В» (1741), як і Герсонід, замість V постулату взяв його еквівалент В«існує прямокутник В».
У Загалом можна сказати, що всі перераховані спроби принесли чималу користь: було встановлено зв'язок між V постулатом та іншими твердженнями, були виразно сформульовані дві альтернативи V постулату - гіпотези гострого і тупого кута.
Перші начерки неевклідової геометрії
Глибоке дослідження V постулату, засноване на абсолютно оригінальному принципі, провів в 1733 році італійський монах-єзуїт, викладач математики Джироламо Саккери. Він опублікував працю під назвою В« Евклід, очищений від усіх плям, або ж геометрична спроба встановити найперші початку всієї геометрії В». Ідея Саккери полягала в тому, щоб замінити V постулат протилежним твердженням, вивести з нової системи аксіом якомога більше наслідків, тим самим побудувавши В«помилкову геометріюВ», і знайти в цій геометрії протиріччя або свідомо неприйнятні положення. Тоді справедливість V постулату буде доведена від протилежного.
Саккери розглядає всі ті ж три гіпотези про 4-м вугіллі чотирикутника Ламберта. Гіпотезу тупого кута він відкинув відразу з формальних міркувань. Легко показати, що в цьому випадку взагалі всі прямі перетинаються, а тоді можна укласти, що V постулат Евкліда справедливий - адже він якраз і стверджує, що за деяких умов прямі перетинаються. Звідси робиться невтішного висновку, що В« гіпотеза тупого кута завжди цілком помилкова, оскільки вона сама себе руйнує В».
Після цього Саккери переходить до спростування В«...
