гіпотези гострого кутаВ», і тут його дослідження набагато цікавіше. Він допускає, що вона вірна, і, одне за іншим, доводить цілий ряд наслідків. Сам того не підозрюючи, він просувається досить далеко в побудові геометрії Лобачевського. Багато теореми, доведені Саккери, виглядають інтуїтивно неприйнятними, але він продовжує ланцюжок теорем. Нарешті, Саккери доводить, що в В«помилкової геометріїВ» будь-які дві прямі або перетинаються, або мають загальний перпендикуляр, по обидві сторони від якого вони віддаляються один від одного, або ж віддаляються один від одного з одного боку і необмежено зближуються з іншого. У цьому місці Саккери робить несподіваний висновок: В« гіпотеза гострого кута абсолютно помилкова, оскільки суперечить природі прямої лінії В».
Мабуть, Саккери відчував необгрунтованість цього В«доказиВ», тому що дослідження триває. Він розглядає еквідістанту - геометричне місце точок площини, рівновіддалених від прямої; на відміну від своїх попередників, Саккери розуміє, що в розглянутому випадку це зовсім не пряма. Однак, обчислюючи довжину її дуги, Саккери допускає помилку і приходить до реального протиріччя, після чого закінчує дослідження і з полегшенням заявляє, що він В« вирвав цю шкідливу гіпотезу з коренем В». На жаль, піонерська робота Саккери, видана посмертно, не звернула на себе тієї уваги математиків, якого заслуговувала, і лише через 150 років (1889) його співвітчизник Бельтрами виявив цей забутий працю і оцінив його історичне значення.
Під другій половині XVIII століття було опубліковано більше 50 робіт з теорії паралельних. В огляді тих років (Г.С. Клюгель) досліджується більше 30 спроб довести V постулат і доводиться їх хибність. Відомий німецький математик і фізик І.Г. Ламберт, з яким Клюгель листувався, теж зацікавився проблемою; його В«Теорія паралельних ліній В»була видана (як і праця Саккери, посмертно) в 1786 році.
В
Ламберт першим виявив, що В«геометрія тупого кутаВ» реалізується на сфері, якщо під прямими розуміти великі кола. Він, як і Саккери, вивів з В«гіпотези гострого кутаВ» безліч наслідків, причому просунувся набагато далі Саккери; зокрема, він виявив, що доповнення суми кутів трикутника до 180 В° пропорційно площі трикутника.
У своїй книзі Ламберт проникливо зазначив:
Мені здається дуже чудовим, що друга гіпотеза [тупого кута] виправдовується, якщо замість плоских трикутників взяти сферичні. Я з цього майже мав би зробити висновок - ув'язнення, що третя гіпотеза має місце на якийсь уявної сфері. У всякому разі, повинна ж існувати причина, чому вона на площині далеко не так легко піддається спростуванню, як це могло бути зроблено відносно другої гіпотези.
В
Геометрія на поверхні негативної кривизни
Ламберт не знайшов суперечності в гіпотезі гострого кута і прийшов до висновку, що всі спроби довести V постулат безнадійні. Він не висловив якихось сумнівів у хибності В«геометрії гострого кутаВ», проте, судячи по іншому його проникливого зауваженням, Ламберт розмірковував про можливу фізичної реальності неевклідової геометрії і про наслідки цього для науки:
Тим часом спроби В«змити плямиВ» з Евкліда тривали (Луї Бертран, Лежандр, Семен Гур'єв та інші). Лежандр дав цілих три докази V постулату, хибність яких швидко показали його сучасники. Останнє В«доказВ» він опублікував в 1823 році, за три роки до першого доповіді Лобачевського про нову геометрії.
Відкриття неевклідової геометрії
У першій половині XIX століття по шляху, прокладеному Саккери, пішли відразу три математика: К.Ф. Гаусс, Н.І. Лобачевський і Я. Бойя. Але мета у них була вже інша - не викрити неевклидову геометрію як неможливу, а, навпаки, побудувати альтернативну геометрію і з'ясувати її можливу роль у реальному світі. На той момент це була зовсім єретична ідея; ніхто з вчених раніше не сумнівався, що фізичний простір евклидово. Цікаво, що Гауса і Лобачевського вчив у молодості один і той же вчитель - Мартін Бартельс (який, втім сам неевклідової геометрією не займався).
Першим був Гаусс. Він не публікував ніяких робіт на цю тему, але його чорнові нотатки і кілька листів однозначно підтверджують його глибоке розуміння неевклідової геометрії. Ось кілька характерних уривків з листів Гауса, де вперше в науці з'являється термін В«неевклідова геометріяВ»:
Допущення, що сума трьох кутів трикутника менше 180 В°, призводить до своєрідної, зовсім відмінної від нашої (евклідової) геометрії; ця геометрія абсолютно послідовна, і я розвинув її для себе абсолютно задовільно; я маю можливість вирішити в цій геометрії будь-яку завдання, за винятком визначення деякої постійної [кривизни], значення якої a priori встановлено бути не може. Чим більше значення ми додамо цієї постійної, тим ближче ми підійдемо до евклідової геометрії, а нескінченно велике її значення призводить обидві системи до збігу.
Пропозиції цієї геоме...
