ння і прогнозування одновимірних часових рядів є адаптивні методи.
При обробці тимчасових рядів, як правило, найбільш цінною є інформація останнього періоду, тому що необхідно знати, як буде розвиватися тенденція, існуюча в даний момент, а не тенденція, що склалася в середньому на всьому розглянутому періоді. Адаптивні методи дозволяють врахувати різну інформаційну цінність рівнів часового ряду, ступінь "застарівання" даних. p> Прогнозування методом екстраполяції на основі кривих росту в якійсь мірі теж містить елемент адаптації, оскільки з отриманням "свіжих" фактичних даних параметри кривих перераховуються заново. p> Надходження нових даних може призвести і до заміни обраної раніше кривої на іншу модель. Однак ступінь адаптації в даному випадку досить незначна, крім того, вона падає з ростом довжини часового ряду, тому що при цьому зменшується "вагомість" кожної нової точки. В адаптивних методах різну цінність рівнів в залежності від їх "віку" можно врахувати за допомогою системи ваг, надавати цим рівням. p> Оцінювання коефіцієнтів адаптивної моделі зазвичай здійснюється на основі рекурентного методу, який формально відрізняється від методу найменших квадратів, методу максимальної правдоподібності та інших методів тим, що не вимагає повторення всього обсягу обчислень при появі нових даних.
Прикладом найпростішої адаптивної моделі є експоненціальна середня. Експоненціальне згладжування часового ряду проводиться итеративно (покроково), причому масив минулого інформації представлений єдиним значенням згладженого рівня ряду в попередній момент часу. p> Для експоненціального згладжування ряду використовується рекуррентная формула
(2.10)
де St-значення експоненційної середньої в момент t;
? - Параметр згладжування,? = Сonst, 0
? = 1 -? . p> Якщо послідовно використовувати співвідношення (2.10), то експонентну середню St можна виразити через попередні значення рівнів часового ряду. При
(2.11)
Таким чином, величина St є зваженою сумою всіх членів ряду. При цьому, ваги окремих рівнів ряду убувають у міру їх видалення в минуле відповідно експоненційної функції (залежно від "віку" спостережень). Тому величина St названа експоненційної середньої. p> Наприклад, якщо? = 0,3, то вага поточного спостереження yt буде дорівнює 0,3; вага попереднього рівня yt-1 буде відповідати? *? = 0,3 * 0,7 = 0,21, для рівня yt-2 вага складе? *? 2 = 0,3 * 0,72 = 0,147, для yt-3 вагу? *? 3 = 0,3 * 0 , 73 = 0,1029 і т.д.
Нехай модель часового ряду має вигляд:
.
Англійський математик Р. Браун показав, що дисперсія експоненційної середньої D [St] менше дисперсії часового ряду
(2.12)
З (2.12) випливає, що при високому значенні? дисперсія експоненційної середньої незначно відрізняється від дисперсії ряду. Зі зменшенням? дисперсія експоненційної середньої зменшується, зростає її відмінність від дисперсії ряду. Тим самим, експоненціальна середня починає грати роль В«фільтраВ», що поглинає коливання часового ряду. p> Таким чином, з одного боку, необхідно збільшувати вагу більше свіжих спостережень, що може бути досягнуто підвищенням?, з іншого боку, для згладжування випадкових відхилень величину? потрібно зменшити.
Ці дві вимоги знаходяться в суперечності. Пошук компромісного значення параметра згладжування? складає завдання оптимізації моделі.
Часто пошук оптимального значення? здійснюється шляхом перебору і у якості оптимального вибирається таке значення, при якому отримана найменша дисперсія помилки. Зазвичай параметр згладжування приймається рівним в інтервалі від 0,1 до 0,3. p> При використанні експоненційної середньої для короткострокового прогнозування передбачається, що модель ряду має вигляд: yt = a1, t + et, де a1, t - варіююча в часі середній рівень ряду, et - випадковостей не автокоррелірованние відхилення з нульовим математичним очікуванням і дисперсією .
Прогнозна модель визначається рівністю
В
де - прогноз, зроблений у момент t на? одиниць часу (кроків) вперед; - оцінка параметра у момент часу t. p> Єдиний параметр моделі Гў1, t визначається експоненційної середньої: Гў 1,1 = St; Гў 1,0 = S0.
Вираз (2.10) можна представити інакше:
(2.13)
Величину можна розглядати як похибка прогнозу. Тоді новий прогноз St виходить в результаті коригування попереднього прогнозу з урахуванням його помилки. У цьому і полягає адаптація моделі. p> Експоненціальне згладжування є прикладом найпростішої самонавчальної моделі. Масив минулого інформації зменшений до єдиного значення St-1. br/>
Глава II Завдання
Представлені дані про залишки оборотних коштів за 15 місяців. Залишки дані на початок року. Необхідно розрахувати прогноз залишків на початок 16-го місяця, виходячи з пропозиції, що тенденція ряду може бути описана...
