> g (Оі)) = П† . Тоді за визначенням повороту щодо осі. p> ОІ ∩ Оі = l , а тому образ перетину дорівнює перетинанню образів, то g (ОІ) ∩ g (Оі) = g ( l ) і ( g (ОІ), g (Оі)) = (ОІ, Оі) , якщо g - першого роду і ( g (ОІ), g (Оі)) = = - (ОІ, Оі) , якщо g - другого роду, тому
. (12)
3. Трансформація гомотетии рухом
Розглянемо. Нехай g (О) = А . Тоді за властивістю нерухомих точок і подвійних прямих, А - нерухома точка перетворення, також ми маємо пучок нерухомих прямих в т. А, тому дане перетворення не може бути поворотною гомотетии або гомотетіческой симетрією. Отже,. Знайдемо коефіцієнт с, для цього розглянемо точку М 1 , нехай | М 1 , A | = d.
Нехай g (М1) = М, ми знаємо, що g (О) = А тоді за властивостями руху | МО | = d .
Нехай, за визначенням гомотетии | М 2 Про | = kd .
Нехай g (М 2 ) = М 3 , за властивостями руху | М < sub> 3 А | = kd . А тому при гомотетии всі відстані змінюються в одне і те ж число раз, то з = k . Отже,
. (21)
4. Трансформація гомотетии гомотетии
Знайдемо спочатку композицію двох гомотетий, для цього розглянемо вектор. По властивості гомотетии,, а. p> Розглянемо перший випадок, коли lk = 1 , тоді ми отримали перетворення, при якому вектор перейшов сам у себе, а це паралельний перенос . Знайдемо вектор, для цього знайдемо спосіб точки Про при цій композиції. , а:. Тоді. Значить, композиція двох гомотетий при lk = 1 є паралельний перенесення на вектор. p>. (22)
Розглянемо другий випадок, коли lk в‰ 1 . Знайдемо нерухомі точки цього перетворення. Нехай точка М - нерухома, тоді якщо, а, то М = D , значить,. Але. Т.к. і, то. Тоді. Т.к. lk в‰ 1 , то висловимо вектор:. Значить, у даного перетворення тільки одна нерухома точка М , причому, отже, точки O , Q , M лежать на одній прямій. p> Доведемо тепер, що дане перетворення буде гомотетии з центром у т. М і коефіцієнтом lk . Візьмемо довільну точку Е , нехай, а. Доведемо, що (рис. 2). Розкладемо вектори і по векторах і. За правилом трикутника,, а. Раніше ми висловили вектор через вектор:, тоді вектор виражається через вектор наступним чином:. Вектор при гомотетии переходить у вектор, тоді. Значить,. Тепер наведемо подібні доданки і розкладемо вектор по векторах і, після цього отримаємо. Вектор при гомотетии переходить у вектор, значить,, а вектор ...
