an> 2 = z 2 Г— z 1 - комутативність;
) z 1 Г— z 2 Г— z 3 = ( z 1 Г— z 2) Г— z 3 = z 1 Г— ( z 2 < span align = "justify"> Г— z 3) - асоціативність;
) z 1 Г— ( z 2 + z 3) = z 1 Г— z 2 + z 1 Г— z 3 - дистрибутивність щодо додавання;
) z Г— 0 = 0; z Г— 1 = z ;
5).
Ділення комплексних чисел
Поділ - це зворотна множенню операція, тому
якщо z Г— z 2 = z 1 і z 2 В№ 0, то.
При виконанні поділу в алгебраїчній формі чисельник і знаменник дробу множаться на число, комплексно поєднане знаменника:
Ділення комплексних чисел в алгебраїчній формі. (7)
При виконанні поділу в тригонометричної формі модулі діляться, а аргументи віднімаються:
Ділення комплексних чисел в тригонометричній формі. (8)
Приклади
1);
).
Зведення комплексного числа в натуральну ступінь
Піднесення до натуральну ступінь зручніше виконувати в тригонометричної формі:
В В В
У результаті виходить формула Муавра :
Формула Муавра, (9)
тобто при зведенні комплексного числа в натуральну ступінь його модуль зводиться в цей ступінь, а аргумент множиться на показник ступеня.
Приклад
Обчислити (1 + i ) 10.
Рішення:
В
Зауваження
1.При виконанні операцій множення і зведення в натуральну ступінь в тригонометричної формі можуть виходити значення кутів за межами одного повного обороту. Але їх завжди можна звести до кутів або скиданням цілого числа повних обертів за властивостями періодичності функцій і. p>. Значення називають головним значенням аргументу комплексного числа;
при цьому значення всіх можливих кутів позначають;
очевидно, що,.
Витяг кореня натуральної ступеня з комплексного числа
Коренем ступеня n з комплексного числа z , де N, називається комплексне число w , таке що < i> w n = z
.
Приклади
, так як;
, так як;
або, так як і.
З визначення очевидно випливає, що операція витягання кореня з комплексного числа є багатозначною.
Якщо використовувати формулу Муавра, то неважко довести наступне твердження:
існує при " z і якщо z В№ 0, то має n різних значень, що обчислюються за формулою
Витяг кореня натуральної ступеня з комплексного числа, (10)
де,
- арифметичний корінь на.
Всі значення розташовані регулярним чином на колі радіусом з початковим кутом і кутом регулярності.
Приклади
1)
, k = 0, 1, 2 Гћ
Гћ,
,
.
Відповідь:
В
2),
.
