а виду, ціле). Якщо на (де), то для всяких двох сусідніх нулів кожного ненульового рішення рівняння маємо (Це легко бачити, якщо покласти і взяти). Зі сказаного випливає, що якщо на, то для всяких двох сусідніх нулів і () кожного ненульового рішення рівняння маємо.
Викладене показує, що якщо неперервна на і перевищує деякий позитивне число поблизу + в€ћ, то кожне ненульове рішення рівняння має на нескінченно багато нулів. Якщо ще зблизька не звертається в нуль, то ці нулі утворюють нескінченну зростаючу послідовність, що має межею + в€ћ, а якщо, крім того,, де, те.
Розглянемо рівняння Бесселя
В
на інтервалі. Підстановка приводить до рівняння
.
Очевидно, і мають одні й ті ж нулі. Так як, де - ціла функція, то не має нулів на при досить малому, і так як при, то при кожному нулі на утворять нескінченну зростаючу послідовність
В
причому.
Якщо, то задовольнить рівнянню
В
на інтервалі (0, + в€ћ). Підстановка приводить до рівняння
В
і, отже, задовольняє цій рівнянню. Таким чином, за будь-яких позитивних і маємо p>, де,
, де,
звідки
,
отже,
, де. (22)
Нехай тепер. Розкладання по ступенях починається зі члена, що містить, розкладання по ступенях починається зі члена, що містить, так як коефіцієнт при дорівнює нулю, що легко бачити, виходячи з формули (5). Отже, з (22) при отримаємо
,
тобто
, (23)
звідки видно, що якщо і є різними нулями функції, то
. (23 `)
Цим доведено, що при система функцій
В
на інтервалі є ортогональної щодо ваги.
Переходячи до межі при в співвідношенні
В
і використовуючи правило Лопіталя, отримаємо при всякому
, (24)
отже, якщо є нулем функції , То
. (24 `)
Таким чином, при кожному всякої безперервної функції на, що задовольняє вимогу
,
поставлений в відповідність ряд Фур'є-Бесселя
, (25)
коефіцієнти якого визначаються формулами
. (25 `)
Можна довести, що система функцій на, ортогональна щодо ваги , Замкнута. Зокрема, якщо ряд Фур'є-Бесселя (25) рівномірно сходиться до породжує його безперервної функції.
Можна показати, що якщо і безперервна на й кусково-гладка на функція, то ряд Фур'є-Бесселя цієї функції сходиться до неї при.
6. Асимптотичне подання бесселевих функцій з цілим індексом для більших значень аргументу
Нехай - позитивна функція і - яка-небудь (взагалі комплекснозначная) функція, визначені для досить великих значень. Запис
при
означає, що знайдуться такі числа і M, що при маємо.
Подібна запис вживається і в інших аналогічних випадках. Наприклад, якщо - позитивна функція і - яка-небудь функція, визначені для досить малих позитивних значень, то запис
при
означає, що знайдуться такі числа і, що на.
Допоміжна лема <...
