ова виконати не можна, тому що невідомо, тоді для закінчення ітераційного процесу можна скористатися нерівностями, або, де і - задані величини.
При такому закінченні ітерацій похибка може зрости в порівнянні з і, тому, щоб не збільшувалася, величини і відповідно зменшують або збільшують число ітерацій.
Методи простої ітерації, Зейделя, модифікований метод Ньютона, метод найшвидшого спуску (див. [1] , [2] , [3] , [4] ) є методами першого порядку - це значить, що має місце нерівність, k = 1, 2,. . . , Де - константа, своя у кожного методу, залежна від вибору початкового наближення, функції f i , i = 1, 2,. . . , N , і їх приватних похідних першого і другого порядків - Точніше їх оцінок в деякій околиці шуканого рішення, якої належить початкове наближення.
Метод Ньютона є методом другого порядку, тобто для нього має місце нерівність, k = 1, 2,. . . , Де - константа, що залежить від тих же величин, що і константа.
А тепер розглянемо достатні умови збіжності методу простої ітерації і методу Ньютона.
Збіжність процесу простої ітерації залежить від двох умов. Перша умова полягає в тому, що яка-небудь точка повинна виявитися близькою до вихідного рішенням. Ступінь необхідної близькості залежить від функцій j 1 , j 2 ,. . . , J n . Ця вимога не відноситься до систем лінійних рівнянь, для яких збіжність процесу простої ітерації залежить тільки від другої умови.
Друга умова пов'язана з матрицею, складеною з приватних похідних першого порядку функцій j 1 , j 2 ,. . . , J n - матрицею Якобі
, br/>
обчислених в точці.
У разі, коли розглядається система лінійних алгебраїчних рівнянь, матриця M складається з постійних чисел - коефіцієнтів, стоять при невідомих у правій частині рівняння (3) . У разі нелінійних рівнянь елементи матриці M залежать, загалом кажучи, від. Для збіжності процесу простої ітерації достатньо, щоб виконувалася нерівність: для з деякої околиці точного рішення, якої має належати початкове наближення.
Наведемо також достатні умови збіжності методу Ньютона для системи рівнянь виду (2) за нормою.
Припустимо, що є початкове наближення до шуканого рішення системи (2) , Функції безупинні і мають безперервні приватні похідні до другого порядку в кулі, тоді, якщо виконані умови:
1) Матриця Якобі системи (2) на початковому наближенні має зворотну і відома оцінка норми зворотної матриці,
2) Для всіх точок кулі виконана нерівність
при i , j = 1, 2,. . . , N ,
3) Виконано нерівність
, br/>
де L - постійна 0 ВЈ L ВЈ 1,
4) Числа b , N , r підпорядковані умові a = nbNr <0,4, тоді система рівнянь (2) в кулі має єдине рішення, до якого сходяться послідовні наближення (8) або (7 ') , (9') .
Для інших методів умови збіжності мають складний вигляд, і ми відсилаємо читача до спеціальної літературі [1] , [2] , [3] , [4] .
6. Примірний перелік можливих досліджень
1) Порівняння різних методів на економічність при вирішенні конкретної задачі:
В· за кількістю операцій на одній ітерації;
В· за кількістю ітерацій, необхідних для досягнення заданої точності;
2) Залежність числа ітерацій для досягнення заданої точності:
В· від вибору виду норми;
В· від вибору критерію закінчення ітераційного процесу по або по невязке;
В· від вибору початкового наближення;
В· від похибки завдання коефіцієнтів в рівнянні.
7. Контрольні запитання
1) Поняття про нелінійних системах рівнянь у R n .
2) Поняття наближеного й точного рішення нелінійної системи рівнянь.
3) Сутність графічного методу відділення рішення для системи двох нелінійних рівнянь, які його переваги і недоліки?
4) Суть методу простої ітерації і методу Зейделя. Які умови застосовності методу простої ітерації?
5) Суть методу Ньютона і його модифікації. Яка швидкість збіжності методу Ньютона? p> 6) Суть методу найшвидшого спуску. Як вибирається параметр узвозу? p> 8. Порядок виконання курсової роботи
1) Отримати варіант завдання, індивідуальний для кожного студента, у викладача, а саме:
Знайти рішення системи нелінійних рівнянь в першій координатної чверті з номером - N 1 (див. варіанти завдань п.10), застосувавши для першого етапу уто...
