підлягають оцінці, розмірності (k +1);
- вектор-стовпець випадкових помилок розмірності n з математичним очікуванням ME = 0 і ковариационной матрицею відповідно, при цьому
-одинична матриця розмірності (nxn).
В В
Оцінки невідомих параметрів знаходяться методом найменших квадратів, мінімізуючи скалярну суму квадратів по компонентах вектора ОІ.
Далі підставивши вираз
в,
В
отримуємо скалярну суму квадратів
В В
Умовою звернення отриманої суми в мінімум є система нормальних рівнянь:
В
, (J = 0,1,2, ..., k). <В
У результаті диференціювання виходить:
.
В
При заміні вектора невідомих параметрів ОІ на оцінки, отримані методом найменших квадратів, отримуємо такий вираз:
.
В
Далі помноживши обидві частини рівняння ліворуч на матрицю, отримаємо
В В
Так як, тоді.
Отримані оцінки вектора b не є зміщеними та ефективними.
Коваріаційна матриця вектора b має вигляд:
, де - залишкова дисперсія.
В
Елементи головної діагоналі цієї матриці являють собою дисперсії вектора оцінок b. Інші елементи є значеннями коефіцієнтів коваріації:
, де,.
В
Таким чином, оцінка - це лінійна функція від залежною змінної. Вона має нормальний розподіл з математичним очікуванням і дисперсією. p> Незміщена оцінка залишкової дисперсії визначається за формулою:
, де n - обсяг вибіркової сукупності;
k - число пояснюють змінних.
Для перевірки значимості рівняння регресії використовують F-критерій дисперсійного аналізу, заснованого на розкладанні загальної суми квадратів відхилень на складові частини:
В
, де - сума квадратів відхилень (від нуля), зумовлена ​​регресією;
- сума квадратів відхилень фактичних значень залежної змінної від розрахункових, тобто сума квадратів відхилень відносно площини регресії, обумовлене впливом випадкових і неврахованих в моделі факторів.
Для перевірки гіпотези використовується величина, яка має F-розподіл Фішера-Снедекора з числом ступенів свободи і. Якщо, то рівняння регресії значимо, тобто в рівнянні є хоча б один коефіцієнт регресії, відмінний від нуля.
У разі значущості рівняння регресії перевіряється значимість окремих коефіцієнтів регресії. Для перевірки нульової гіпотези використовується величина
, яка має F-розподіл Фішера-Снедекора з числом ступенів свободи іВ ; - Відповідний елемент головної діагоналі ковариационной матриці.
Коефіцієнт регресії вважається значимим, якщо. Для значущих коефіцієнтів регресії можна побудувати довірчі інтервали, використовуючи формулу
, де знаходиться по таблиці розподілу Стьюдента для рівня значущості і числа ступенів свободи.
