ножників); В
Дійсно, зауважимо, що вектори, що стоять обох частинах рівності, мають одну і ту ж довжину . Крім того, вони колінеарні і однаково направлені, так як їх напрямок збігається з напрямком , якщо ? і ? одного знака, і протилежно напрямку , якщо ? і ? мають різні знаки. Якщо ж ? або ? дорівнюють нулю, то обидві частини рівності дорівнюють нулю. Властивість доведено.
Побудуємо трикутник OAB де і . Побудуємо далі трикутник SPQ, де і . Бо сторони SP, PQ трикутника SPQ паралельні і пропорційні сторонам OA, AB трикутника OAB, то ці трикутники подібні. Тому сторона SQ також паралельна стороні OB і ставлення їх довжин також одно | ? |. Ясно, далі, що і однаково спрямовані, якщо ? > 0. Звідси випливає, що . Але і , а звідси випливає перша властивість дистрибутивности.
Очевидно, що вектори, що стоять в обох частинах другої властивості дистрибутивности колінеарні. Припустимо спочатку, що знаки ? і ? однакові. Тоді вектори і спрямовані однаково і довжина їх суми дорівнює сумі їх довжин, тобто . Але і отже, в цьому випадку вектори і рівні по довжині. Напрямок їх збігається з напрямком вектора , якщо загальний знак ? і ? позитивний, і протилежно йому, якщо від'ємний. Припустимо тепер, що знаки ? і ? різні, і для визначеності будемо вважати | ? |> |? |. У цьому випадку довжина суми дорівнює різниці довжин, точніше . Але
