одним кінцем стрижня довжиною L.
Задамо початкові і граничні умови
Початкові умови:
тому температура стінки в початковий момент однакова по всій товщині то U (x, 0) = U0
Граничні умови:
т. до залежності температури поверхонь від часу задані, то на одному кінці стрижня U (0, t) = m (t) = U0 + et, а на іншому U (L, t) = m1 (t) = U0 - sin (2? t) (рис.1)
В
Рис.2.1 Початкові і граничні умови для моделювання нагріву тонкого стрижня
Для вирішення завдання використовуємо метод кінцевих різниць (метод сіток)
Задамо область дослідження (D) в ортогональній системі координат у вигляді прямокутника розміром L x t1, де t1 - тривалість процесу за умовами завдання тобто
= {0? x? L, 0? t? t1}
Діскретізіруем область D представивши її у вигляді сіткової області
= {xi = i h, tj = j?; 0? i? m, 0? j? p},
де m - число вузлів по x
,
де L - розмір області, h - крок за x; - число вузлів по t
,
де t1 - тривалість процесу,? - Крок за часом. p> Так як значення задані точно на кордонах досліджуваної області то для вузлів внутрішньої сіткової області Dij (у яких всі сусідні вузли в межах D):
= {1? i? m-1, 1? j? p}
Область розрахованих значень U ij
jtj = j *? j = pxx. xx2xx1xx0xxxi = i * hxxxxxxxxxxi012. i = m Рис.2.2 Сіткова розрахункова область
Якщо схема апроксимуюча вихідне рівняння різницями. в кожному рівнянні містить тільки одне значення функції на наступному шарі і це значення можна виразити явно через відомі значення функції на даному шарі, то такі схеми називаються явними.
Якщо рівняння в одному шарі містить кілька невідомих значень функції на новому шарі, такі схеми називаються неявними.
Для розглянутого випадку можна використовувати явну різницеву схему на основі 4-х точкового шаблону. Виберемо крок сітки:
) по х - з умови
В
) по t - з умови стійкості явної різницевої схеми
В
тому приймаємо? = 0,005
Складемо різницеві рівняння для даного шаблону. описує внутрішні вузли сіткової області
В В
Запишемо рівняння теплопровідності в кінцевих різницях
В
Ми бачимо. що тільки одне значення U належить Вищерозміщені шару (i, j +1).
Перепишемо рівняння у вигляді розрахункової формули:
В
Таким чином послідовно обчислюючи Ui в шарі j +1 за даними шару j ми зможемо послідовно заповнити його значеннями Ui, j +1 і перейти до шару j +2, а потім повторити обчислення стільки разів. скільки потрібно за умовами завдання.
Приклад моделювання з використанням функцій пакету Mathematica
В
В
В
Графічне подання даних виконується блоком функцій:
В
== end ==
Моделювання за допомогою спеціальних функцій для рішення диференціальних рівнянь NDSolve в пакеті Mathematica
Запишемо вихідне рівняння у формі для використання функцій NDSolve:
В
В
== end ==
Варіанти індивідуального завдання до лабораторної роботи № 2
В
Лабораторна робота № 2. Моделювання випадкових процесів і систем
Мета. Практичне засвоєння основних методів комп'ютерного моделювання випадкових процесів. p align="justify"> Теоретична частина. Визначення та приклади стохастичних процесів. Основні визначення теорії ймовірностей і математичної статистики для їх моделювання. Види і параметри розподілів. p align="justify"> Метод статистичного моделювання. Псевдовипадкові числа і процедура їх генерації. Методи генерації випадкових подій. p align="justify"> Обчислювальні та графічні можливості комп'ютерного моделювання випадкових процесів і систем. Метод Монте-Карло. p align="justify"> Зміст лабораторної роботи
. Генерування псевдовипадкових чисел і розподілів
. Моделювання системи масового обслуговування
. Метод Монте-Карло
Розділ 1. Генерування рівномірно розподілених випадкових чисел
Алгоритм Неймана [Каліткін с.115-116] отримання послідовності рівномірно розподілених в діапазоні 0 - 1 чисел gi:
) взяти довільне число з 2r цифр (не обов'язково десяткових);
) звести в квадрат.
) у квадрата цього числа залишити 2r середніх цифр - тобто відкинути перші r або r-1 перших і r останніх;
) отримане число (знову ж таки з 2r або 2r - 1 цифр) звест...
