p>
де p1, ..., РK - різні прості числа, і порахуємо ф (n). З властивостей функції Ейлера (1) і (2) ми отримуємо:
ф (n) = ф (p1m1) ф (р2m2) ... ф (pkmk) = p1m1-1 p2m2-1 (p1-1) (p2-1) ... (pk-1).
Щоб права частина останнього виразу була ступенем двійки, потрібно, щоб кожен непарний простий множітельp1 входив до нього з показником m1 = +1: при цьому саме число р1обязано мати вигляд р1 = 2l +1. З іншого боку, вираз 2l +1 може бути простим лише тоді, коли l - ступінь двійки. Отже, кожен непарний множник р1 = +1. p align="justify"> Числа виду +1 отримали назву чисел Ферма. Перші п'ять чисел Ферма (при k = 0,1,2,3,4) - 3, 5, 17, 257, 65537 - дійсно виявилися простими. Як виявив Ейлер, шосте число Ферма 1 ділиться на 641.
З часів Ейлера числами Ферма цікавилися математики різних країн. Зокрема, майже рівно сто років тому 1878 році на засіданні Петебургской академії наук слухалася повідомлення Є.І. Золотарьова про роботу, представленої академії священиком іонному Первушин. У цій роботі встановлювалося, що число ділиться на 167722161 = 5 225 +1.
Останнім часом багато числа Ферма досліджені на комп'ютерах. Серед них простих чисел виявити так і не вдалося, так що до цих пір невідомо, чи існують прості числа Ферма, крім перших п'яти. Тому я змушена сформулювати відповідь на завдання в може ще не остаточної формі:
Правильний n-кутник допускає побудову циркулем і лінійкою тоді і тільки тоді, коли n = 2k р1 р2 ... РK, де р1 - попарно різні числа Ферма.
Велика теорема Ферма
Для будь-якого натурального числа n> 2 рівняння xn + yn = zn не має натуральних рішень x, y і z.
Теорема була сформульована П'єром Ферма приблизно в 1630 році на полях книги Діофанта "Арифметика" наступним чином: "неможливо розкласти ні куб на два куба, ні біквадрат на два біквадрата, і взагалі ніяку ступінь, велику квадрата, на два ступені з тим же показником ". І далі додав: "я відкрив цьому воістину чудесний доказ, але ці поля для нього занадто малі". У паперах П'єра Ферма знайшли доказ теореми Ферма для n = 4. Нездоровий інтерес до доказу цієї теореми серед неспеціалістів в галузі математики був свого часу викликаний великий міжнародною премією, анульованою в кінці першої світової війни. Передбачається, що доказ теореми Ферма взагалі не існувало. p align="justify"> Для n = 3 теорему Ферма довів Л. Ейлер, для n = 5 І. Дирихле і А. Лежандра, для n = ...
