)
Для отримання наступного наближення підставимо у формулу (1) замість XZ, отримаємо:
x 1 = F (z) (4)
і, продовжуючи аналогічно,
В
x 2 = F (x 1 )
x 3 = F (x 2 ) (5)
...
x n = F (x n-1 )
В
Таким чином, отримуємо деяку послідовність, і, якщо її межа (6)
limx n = A , n В® v (6)
то А є шуканим коренем.
Даний метод є виключно аналітичним, що спрощує його машинну реалізацію, однак містить наступні недоліки:
- необхідність вибору нульового наближення (адже те, що інтуїтивно для людини, для ЕОМ може стати досить складним завданням)
- нарешті, отримана послідовність просто може не сходитися, і тоді рішення знайдено не буде. p> Ці контраргументи стали підставою для відхилення методу ітерацій при виборі алгорітмізіруемого методу.
2.2.3. Метод половинного ділення (метод бисекции)
В
рис.2
Метод половинного ділення (відомий ще і як В«метод розподілу відрізка навпілВ») також є рекурсивним, тобто передбачає повторення з урахуванням отриманих результатів.
Суть методу половинного ділення полягає в наступному:
- дана функція F (x);
- визначена допустима похибка Q;
- визначено деякий інтервал [a, b], точно містить рішення рівняння.
1. Обчислюємо значення координати Е, беручи середину відрізка [a, b], тобто Е = (a + b)/2 (7)
2. Обчислюємо значення F (a), F (b), F (E), і здійснюємо наступну перевірку: Якщо F (E)> Q, то корінь з вказаною точністю знайдений. Якщо F (E)
3. Переходимо до пункту 1. p> Задачу можна спростити, якщо визначити межі коренів: кордон абсолютних значень коренів обчислюється за формулою (8)
В В
: (8),
(9) ,
br/>
кордон позитивних коренів - за формулою (9):
а кордон негативних коренів - замінивши в рівнянні (1) х на-х.
Таким чином, ми отримуємо метод, хоча і досить повільний (втім, при невдалому виборі нульового наближення в методі ітерацій пошук рішення може затягнутися на ще більш довгий час, та і до того ж невідомо, чи призведе весь хід обчислень до відповіді), але зате цілком надійний і простий метод, який не потребує вирішення додаткових завдань, начебто обчислення похідної, а рекурсивность самого алгоритму дозволяє о...
