Вектор О» 1 a 1 + О» 2 a 2 + ... + О» m a m називається лінійною комбінацією векторів а 1 а 2 , ..., а m з коефіцієнтами О» 1 , О» 2, О» m ,
Система векторів лінійного простору а 1 а 2 , ..., а m називається лінійно залежною, якщо існують такі числа О» 1 , О» 2, О» m не рівні одночасно нулю, що їх лінійна комбінація О» 1 a 1 + О» 2 a 2 + ... + О» m a m дорівнює нульовому вектору (вектору, всі компоненти якого дорівнюють нулю). В іншому випадку систему а 1 , а 2 , ..., а m називають лінійно незалежної, тобто лінійна комбінація даних векторів може бути дорівнює нульовому вектору тільки при нульових коефіцієнтах О» 1 , О» 2, ..., О» m
Максимально можлива кількість векторів, які можуть утворювати лінійно незалежну систему в даному лінійному просторі, називають розмірністю простору, а будь-яку систему лінійно незалежних векторів у кількості, що дорівнює розмірності, - базисом простору.
Лінійне простір зазвичай позначають як R n , де n - його розмірність.
Будь-яка підмножина даного лінійного простору, яке саме має властивості лінійного простору, називається лінійним підпростором. Безліч Н, одержуване зрушенням деякого лінійного підпростору L € R n на вектор a € R n : H = L + a, називається аффінним безліччю (простором). Якщо фундаментальним властивістю будь-якого лінійного простору або підпростору є приналежність йому нульового вектора, то для афінного безлічі це не завжди так. На площині прикладом підпростору є пряма, що проходить через початок координат, а афінного безлічі - будь-яка пряма на площині. Характеристичним властивістю афінного множини є приналежність йому будь-якої прямої, що з'єднує дві будь-які його точки. Розмірність афінного безлічі збігається з розмірністю того лінійного підпростору, зрушенням якого воно отримано.
Якщо розглядається деякий лінійне простір R n , то належні йому аффінниє безлічі розмірності 1 називаються прямими, а розмірності (n-1)-гіперплощинами. Так, звичайна площина є гіперплощиною для тривимірного геометричного простору R 3 , а пряма - гіперплощиною для площини R 2 . Всяка гіперплощина ділить лінійне простір на два півпростору. p> Безліч V векторів (точок) лінійного простору R n називається опуклим, якщо воно містить відрізок прямої, що з'єднує дві його будь-які точки, або, іншими словами, з того, що a € V і b € V, випливає, що х = (1 - О») х а + О» х b € V, де 0 ≤ О» ≤ 1.
Лінійна комбінація векторів а 1 , а 2 ... а m називається оп...
