1. Точки М і N - середини діагоналей АС і BD чотирикутника ABCD. (Рис.1)
Довести, що | AB | 2 + | BC | 2 + | CD | 2 + | DA | 2 = | AC | 2 + | BD | 2 +4 | MN | 2 .
Рішення. Нехай точкам A, В, С, D, М, N відповідають комплексні числа а, b, с, d, т, п.
< p> Так як m = і n =, то
| AB | 2 + | BC | 2 + | CD | 2 + | DA | 2
| AC | 2 + | BD | 2 +4 | MN | 2
.
Рівність доведено.
Завдання 2. Довести, що якщо в площині паралелограма ABCD існує така точка М, що | MA | 2 + | MC | 2 = | MB | 2 + | MD | 2, тo ABCD - прямокутник. (Рис.2)
Рішення. Якщо за початкову точку прийняти центр паралелограма ABCD, то при прийнятих раніше позначеннях з =-a, d =-b, і тому дане в умові рівність буде еквівалентно рівності, яке означає, що діагоналі паралелограма рівні, тобто він прямокутник.
Задача 3. Довести, що сума квадратів діагоналей AC, BD чотирикутника ABCD дорівнює подвоєною сумі квадратів відрізків MN, PQ, що з'єднують середини протилежних сторін. (Рис.3)
C
BBC
M (O)
NM MЬ
ADAD
Рис. 1 Рис. 2
Рішення. Потрібно довести:
Запишемо ліву частину рівності в комплексній формі:. Скориставшись (4a), знаходимо комплексне рівність правої частини і безпосереднім підрахунком переконуємося, що вона дорівнює лівої. p> B
P
C
M
N
A
QD
Рис. 3
Задача 4. Довести, що сума квадратів медіан BM, AN, CP трикутника ABC дорівнює суми квадратів його сторін. (Рис.4)
Рішення. Потрібно довести: Запишемо ліву частину, скориставшись формулами (2) і (4а), і переконаємося в тому, що вона дорівнює правій. p> Задача 5. Довести, що відстань від вершини З трикутника АВС до точки D, симетричної центру описаного кола відносно прямої АВ, обчислюється за формулою | CD | 2 = R2 + | AC | 2 + | BC | 2 - | AB | 2, де R-радіус описаного окружності. (Рис.5)
Рішення. Точка M є серединою АВ, так як центр описаного кола лежить на перетині серединних перпендикулярів. p> Точка М - середина ОD (за умовою). p> Тоді,. Скористаємося цим рівністю, формулами (2) і (4а) і переконаємося в справедливості | CD | 2 = R2 + | AC | 2 + | BC | 2 - | AB | 2. p> D
M
O
BB
N
P
A
C
AMC
Рис. 4 Рис. 5
Паралельність і перпендикулярність. Колінеарність трьох точок
ОПР: Нехай на площині комплексних чисел дано точки А (а) і B (b). Вектори і сонаправлени тоді і тільки тоді, коли arg a = arg b, тобто при arg а - arg b = arg = 0 (при відніманні комплексних чисел, з аргументу діленого віднімається аргумент дільника!). p > Очевидно також, що ці вектори спрямовані протилежно в тому і тільки в тому випадку, якщо arg a - arg b = arg.
Комплексні числа з аргументами 0,, є дійсними. ТЕОРЕМА (Критерій к...
