/p>
або, використовуючи зв'язки:
В
і підставляючи її в (6) отримаємо наступний вигляд рівняння (6):
.
Амплітуда поля повільно змінюється в просторі, тобто : br/>
<<(7)
У цьому випадку ми можемо ігнорувати перший член у правій частині рівняння (6), це і є наближення Френеля або параболічне наближення, а рівняння (6) призводить до
,
, (8)
яке відоме як рівняння Френеля або параксіальної рівняння. Воно є основним рівнянням для опису оптичних хвиль у неоднорідних середовищах, зокрема, в хвилеводних структурах. p> Рішення рівняння Гельмгольца або Френеля застосовуються для оптичних хвиль у хвилеводах, відомий як метод поширюється пучка (BPM).
Рішення рівняння Гельмгольца в однорідної середовищі - це набір плоских хвиль, і, отже, загальне рішення може бути представлено суперпозицією таких плоских хвиль. Розглянемо рішення хвильового рівняння, яке засноване на наближенні Френеля. По-перше, розділимо змінні хвильової функції рівняння Френеля в напрямку поширення і бічних напрямках:
(9)
Підставляючи (9) в (8) і припускаючи, що, отримаємо операторний співвідношення
,
і, отже
(10)
Підставляючи в (9), отримаємо
(11)
Таким чином, хвильову функцію, яка розташована на відстані від в напрямку поширення, враховуючи (9) можна записати в наступному вигляді:
(12)
Перепишемо (12) у наступному вигляді:
, (13)
де
(14)
Тут було використано співвідношення і знехтували, виходячи з того, що є досить малим
в (13) є диференціальним оператором, при цьому можна використовувати наступне співвідношення для функції f загального вигляду:
. (15)
Цей зв'язок означає, що перший і другий оператор (13) не можуть бути взаємозамінними. Тим не менше, треба зробити оператори в (13) симетричними,
(16)
При, дивимося (14), отже, рівняння (16) зводиться до
. (17)
Це означає, що дія оператора
(18)
відповідає зміні фази на відстані в однорідної середовищі з показником заломлення. Таким чином, перший і третій члени (16) відповідають поширенню світла в однорідному середовищі з показником заломлення на. Вираз (16) означає, що хвильова функція в може бути отримана шляхом зрушення хвильової функції з на в однорідному середовищі з показником заломлення, потім фазового зсуву, відповідного поширенню через тонку лінзу, і, нарешті, зсуву хвильової функції на наступний в однорідному середовищі з показником заломлення.
Властивість безперервності та періодичності функції дозволяє застосувати дискретне перетворення Фур'є, тобто, отримаємо:
, (19)
де,
,,,
(20)
Тут є ...
