спадає і опукла; б - функція F {x) убуває і увігнута; в - функція F (x) зростає і увігнута; г - функція F (x) зростає і опукла
Безпосередньо в корені маємо
,
оскільки. Далі міркуємо так: раз безперервна функція звертається в нуль в деякій точці, то існує така околиця цієї точки, в якій, що й потрібно було довести. p> Для оцінки відстані від чергового наближення до кореня можна використовувати як загальне співвідношення, так і наступний прийом. За формулою Лагранжа
.
Звідси отримуємо
Нагадаємо, що про точку відомо лише те, що вона знаходиться між і, тому реальна оцінка похибки можлива за допомогою наступного нерівності:
(3)
Ця оцінка дуже зручна, оскільки, так чи інакше, обчислюється по мірі знаходження членів рекурентної послідовності (2).
Можна показати, що якщо має на [а; b] безперервну другу похідну, то похибки на і-му кроках пов'язані нерівністю
(4)
Таким чином, обчислювальний алгоритм, заданий формулою, має квадратичну швидкість збіжності.
Розглянутий метод називається методом дотичних тому, що якщо звернутися до графічної ілюстрації (рис. 3), то точка, яка визначається за формулою (2) при, є точка перетину дотичної, проведеної до графіка функції
в точці з абсцисою, з віссю
абсцис.
В
Кожному наступному члену ітераційної послідовності (2) відповідає точка перетину дотичної, проведеної до графіка функції в точці з абсцисою, обумовленою попереднім членом послідовності, з віссю абсцис.
.3 Метод Гаусса
Суть методу Гауса полягає в перетворенні системи (6) до рівносильній їй системі з трикутною матрицею, з якої потім послідовно (зворотним ходом) виходять значення всіх невідомих.
(6)
Сам по собі метод Гаусса відноситься до точних методів. Це означає, що якщо точно виконувати всі необхідні в ньому дії, то буде отримано точне рішення, оскільки похибка методу в даному випадку дорівнює нулю. Зрозуміло, однак, що через обчислювальних помилок (включаючи помилки округлення, а також можливі помилки у вихідних даних) цей ідеал практично недосяжний. p align="justify"> Процес рішення розбивається на 2 етапи:
1) Прямий хід (складається в послідовному виключенні невідомих);
2) Зворотний хід (знаходження невідомих).
.4 Метод Зейделя
Метод Зейделя являє собою модифікацію методу послідовних наближень. У методі Зейделя при обчисленні (k +1)-го наближення невідомого враховуються вже знайдені раніше (k +1)-е наближення невідомих. p> Нехай дана лінійна система, приведена до норм...
