ального вигляду:
(7)
Вибираємо довільно початкові наближення невідомих і підставляємо в перше рівняння системи (7):
;
отримане перше наближення підставляємо в друге рівняння системи (7):
;
отримані перші наближення і підставляємо в третє рівняння системи (7):
В
і т.д. Нарешті,
.
Аналогічно будуємо другі, треті і т.д. ітерації.
Таким чином, припускаючи, що k-е наближення відомі, методом Зейделя будуємо (k +1)-е наближення за такими формулами:
,
,
..........................................
,
де k = 0, 1, 2, ..., n.
1.5 Метод ітерацій
Нехай дана система n лінійних рівнянь з n невідомими:
(8)
Запишемо систему (8) у матричному вигляді:
, (9)
Де
,,.
Припускаючи, що діагональні елементи (i = 1, 2, ..., n), виразимо через перше рівняння системи, - через друге рівняння і т.д. В результаті отримаємо систему, еквівалентну системі (8):
(10)
Позначимо, де i = 1, 2, ..., n; j = 1, 2, ..., n. Тоді система (10) запишеться таким чином:
(11)
Система (11) називається системою, приведеної до нормального вигляду. Ввівши позначення
,.
Запишемо систему (11) у матричній формі:
,
або
. (12) Вирішимо систему (12) методом послідовних наближень. За нульове наближення приймемо стовпець вільних членів:
- нульове наближення.
Далі побудуємо матриці-стовпці:
- перше наближення;
- друге наближення
і т.д.
Взагалі, будь-яке (k +1)-е наближення обчислюють за формулою:
(k = 0, 1, ..., n). (13)
Якщо послідовність наближень має межу, то ця межа є рішенням системи (10), оскільки в силу властивості границі, тобто . p align="justify"> 1.6 Звернення матриці за допомогою схеми Гауса
Нехай дана неособлива матриця (). Для знаходження зворотної матриці використовується основне співвідношення, де - одинична матриця n-го порядку. p> Так, для матриці четвертого порядку, помноживши
,
отримаємо 4 системи рівнянь щодо 16 невідомих.
У загальному випадку мають місце співвідношення
,
де
В
називається символом Кронекера.
...
