но знайти їх наближені значення, що відрізняються від точних не більше ніж на. p> При цьому можна або поступово зменшувати крок табулювання, наближаючи його до значення, або зробити це відразу, вважаючи h =. У будь-якому випадку отримаємо b - а <. Тоді в якості шуканого значення кореня можна вибрати середину цього відрізка, тобто покласти = (а + b)/2, а кордон похибки не перевищить значення/2.
Набагато ефективнішим, ніж табулювання з постійним кроком, є так званий метод половинного поділу. Нехай рівняння має на відрізку [а; b] єдиний корінь, причому функція F (x) на цьому відрізку неперервна. Розділимо відрізок [а; b] навпіл крапкою з = (а + b)/2. Якщо (що практично найбільш ймовірно), то можливі два випадки: F (x) змінює знак або на відрізку [а; с] (рис. 1. А), або на відрізку [с; b] (рис. 1. Б) . Вибираючи в кожному випадку той з відрізків, на якому функція змінює знак, і, продовжуючи процес половинного поділу далі, можна дійти до як завгодно малого відрізка, що містить корінь рівняння. br/>В
Рисунок 1 - До вирішення рівняння F (x) методом половинного поділу:
a - функція F (x) змінює знак на відрізку [a; c]; б - функція F (x) змінює знак на відрізку [c; b]
Метод половинного поділу цілком можна використовувати як метод вирішення рівняння з заданою точністю. Дійсно, якщо на якомусь етапі процесу отриманий відрізок [а; b], що містить корінь, то, прийнявши наближено, то отримаємо помилку, що не перевищує значення
(1)
1.2 Уточнення кореня рівняння методом дотичних (метод Ньютона)
Нехай у. Таким чином, итерационная послідовність будується за допомогою рекурентного співвідношення
(n = 0, 1, 2, ...). (2)
Питання про вибір початкового наближення та гарантованої збіжності ітерацій вирішується просто, якщо функція задовольняє таким умовам:
1. є двічі диференціюється на відрізку [а; b];
2.Про похідні - перша і друга - не міняють знак на цьому відрізку, тобто функція монотонна і не змінює характеру опуклості; ситуація ілюструється одним з варіантів на рис. 2. p> У такій ситуації за береться той кінець відрізка [а; b], на якому функція і її друга похідна мають однакові знаки, тобто виконується умова. Очевидно, що це лівий кінець [а; b] на рис.3, а і г і правий кінець [а; b] на рис. 2, б і в. p> Припустимо на додаток до зроблених раніше припущеннями, що також неперервна на [а; b]. Доведемо, що відображення, відповідне формулою (2), є стискаючим в деякій околиці кореня рівняння. Для цього, як показано вище, достатньо, щоб існувало таке число q (0
В
В
Малюнок 2 - Чотири можливості поведінки функції F {x) в околиці кореня:
а - функція F (x) ...
