ля першої координати вектора рішення не виконується умова (6) - обчислюємо 3-е наближення:
В
Умова (6) виконується - завершуємо ітераційний процес.
Отримали вектор розв'язку:
.
1.3 Метод Крамера
Метод Крамера (правило Крамера) - спосіб розв'язання квадратних систем лінійних алгебраїчних рівнянь з ненульовим визначником основної матриці (причому для таких рівнянь рішення існує і єдино). Створено Габріелем Крамером в 1751 році. [Джерело не вказано 481 день]
Опис методу
Для системи n лінійних рівнянь з n невідомими (над довільним полем)
begin {cases} _ {11} x_1 + a_ {12} x_2 + ldots + a_ {1n} x_n = b_1 a_ {21} x_1 + a_ {22} x_2 + ldots + a_ {2n} x_n = b_2 cdots cdots cdots cdots cdots cdots cdots cdots cdots cdots a_ {n1} x_1 + a_ {n2} x_2 + ldots + a_ {nn} x_n = b_n end {cases}
x_i = frac {1} { Delta} begin {vmatrix} _ {11} & ldots & a_ {1, i-1} & b_1 & a_ {1 , i +1} & ldots & a_ {1n} a_ {21} & ldots & a_ {2, i-1} & b_2 & a_ {2, i +1} & ldots & a_ {2n} ldots & ldots & ldots & ldots & ldots & ldots & ldots a_ {n-1, 1} & ldots & a_ {n-1, i-1} & b_ {n-1} & a_ {n-1, i +1} & ldots & a_ {n-1, n} a_ {n1} & ldots & a_ {n, i-1} & b_n & a_ {n, i +1} & ldots & a_ {nn} end {vmatrix}
(i-ий стовпець матриці системи замінюється стовпцем вільних членів). В іншій формі правило Крамера формулюється так: для будь-яких коефіцієнтів c1, c2, ..., cn справедливо рівність:
(c_1x_1 + c_2x_2 + dots + c_nx_n) cdot Delta = - begin {vmatrix} _ {11} & a_ {12} & ldots & a_ {1n} & b_1 a_ {21} & a_ {22} & ldots & a_ {2n} & b_2 ldots & ldots & ldots & ldots & ldots a_ {n1} & ; a_ {n2} & ldots & a_ {nn} & b_n c_ {1} & c_ {2} & ldots & c_ {n} & 0 end {vmatrix}
У цій формі формула Крамера справедлива без припущення, що Delta відмінно від нуля, не потрібно навіть, щоб коефіцієнти системи були б елементами цілісного кільця (визначник системи може бути навіть дільником нуля в кільці коефіцієнтів). Можна також вважати, що або набори b_1, b_2, ..., b_n і x_1, x_2, ..., x_n, або набір c_1, c_2, ..., c_n складаються не з елементів кільця коефіцієнтів системи, а якого-небудь модуля над цим кільцем. У цьому виді формула Крамера використовується, наприклад, при доказі формули для визначника Грама і Леми Накаями. p align="justify"> Система лінійних рівнянь:
begin {cases}
a_ {11} x_1 + a_ {12} x_2 + a_ {13} x_3 = b_1 a_ {21} x_1 + a_ {22} x_2 + a_ {23} x_3 = b_2 a_ { 31} x_1 + a_ {32} x_2 + a_ {33} x_3 = b_3 e...
