Дано 4 точки А (2; 7; - 3), В (1, 0,
), С (-3; - 4;
), D (-2; 3; - 1). Вкажіть серед векторів АВ, ВС, DС, АD, АС і ВD рівні вектори
Рішення. Треба знайти координати зазначених векторів і порівняти відповідні координати. Таким чином, вектори АВ і DС рівні. Іншою парою рівних векторів будуть ВС і АD.
Завдання 2: Дано 4 точки А (0; 1; - 1), В (1; - 1;
), С (3; 1; 0), D (2; - 3;
). Знайдіть косинус кута між векторами АВ і СD. p> Рішення Координатами вектора АВ будуть 1-0 = 1, - 1-1 = -2, 2 - (-1) = 3.
Координатами вектора СD будуть 2-3 = -1, - 1-3 = -4, 1-0 = 1.
Значить.
Задача 3. Дан вектор. Знайдіть колінеарний йому вектор з початком у точці А (1; 1;
) і кінцем В на площині ху
Рішення Координата z точки В дорівнює 0. Координати вектора АВ:. З коллинеарности векторів і отримуємо пропорцію. Звідси знаходимо координати х, у точки В:
Задача 4. АВСDА1В1С1D1 - паралелепіпед. Доведіть, що для всякої точки О виконується рівність ОА + ОС1 = ОВ1 + ОD = ОА1 + ОС
Рішення Запишемо перше з цих рівностей ОА + ОС1 = ОВ1 + ОD. Воно рівносильно такому ОА-ОD = ОВ1-ОС1, яке в свою чергу рівносильне такому D А = С1В1. А останнє рівність у паралелепіпеді виконується. Аналогічно доводиться і друга рівність. p> Задача 5. Вектори - поодинокі. Обчислити:
Решеніе.1 . br/>
, де
В
. Так як вектори одиничні, то, а тобто нам потрібно знайти
В В
=, де
=.
Задача 6 . Для вектора знайдіть перпендикулярний, рівний йому по довжині. p> Рішення: Розглянемо вектори і. Очевидно, що (формула 2.4). Легко переконатися, що ^. p> Дійсно, Гћ ^. Аналогічно показується, що ^. p> Таким чином, і - шукані вектори.
Задача 7. Дано координати вершин трикутника АВС: А (1, 0), В (4, - 3), С (12,5). Точки М і N лежать на сторонах АВ і ВС відповідно і ділять їх в однаковому відношенні 1: 2. Знайдіть координати середини відрізка MN. p> Рішення: З креслення (рис.7) і умови задачі випливає, що і. Знайдемо координати точок М та N за формулами:
В
Тепер, знаючи координати кінців відрізка MN, знайдемо координати його середини:
В
Відповідь: .
2.2 Рішення рівнянь
Задача 1. Вирішити рівняння + = 5
Рішення . Нехай = (х - 1;
), = (5 - х;
) + = (4;
)? +? = 5. Виходячи з +? ? +? маємо??:
=
> 0 x =.
Відповідь:
Завдання 2. Вирішити рівняння х + = 2
Р...
