ежорсткої:
В
c) неотрицательности:
В
Якщо, то з рівняння пункту a) виводимо, що всі множники Лагранжа - нулі, а цього не може бути.
Тому, вважаємо.
Припустимо, тоді в силу умови b) Висловлюючи з умови a) через і підставляючи в рівняння,, отримаємо, що
В
екстремум рівність теорема вейштрасс
звідки - протиріччя з умовою невід'ємності c). Значить, у разі критичних точок немає. p> Нехай. Тоді - єдина критична точка. p> Функція при, значить по слідству з теорем Вейерштраса рішення задачі існує, а в силу єдиності критичної точки рішенням може бути тільки вона. Отже,
Приклад 2. - Симетрична матриця. p> Рішення 1. Існування рішення очевидно з теореми Вейштрасса, бо сфера компактна. Функція Лагранжа:
В
. Необхідна умова
В
. Якщо, то а значить, що суперечить рівнянню зв'язку. Покладемо. Тоді. Таким чином, рішенням є власний вектор матриці. p>. Домножимо співвідношення на, отримаємо, що; інакше кажучи, рішенням задачі на мінімум буде власний вектор матриці, відповідний найменшому власному значенню. p> Приклад 3. p> Рішення. 1. Функція Лагранжа:
. Необхідна умова:
. Якщо, то, значить, з попередніх рівнянь - точка не є припустимою. Вважаємо. Тоді, або, або, отже,, тобто p>. За теоремою Вейєрштрасса існують рішення завдань на мінімум і максимум. Розглядаючи значення функціонала в стаціонарних точках, отримуємо
В
Список літератури
1. Алексєєв В.М., Галєєв Е.М., Тихомиров В.М. Збірник завдань з оптімізаціі.-1984.
. Галєєв Е.М., Тихомиров В.М. Оптимізація. - 2000.
. Фіхтенгольц Г.М. Курс диференціального й інтегрального числення. У 3т. Т.1 - 2003.
. Галєєв Е.М., Тихомиров В.М. Короткий курс теорії екстремальних задач. - 1989.
