еволюція (доведення аналогічно п. 5), тоб.
Вважатімемо, что функція неперервно на будь-якому відрізку и для будь-якої точки фазового простору и будь-якого моменту годині існує оптимальна Траєкторія, а функція неперервно діференційована за своими аргументами. Тоді Необхідна Умова оптімальності у вігляді рівняння Беллмана (17), (18) для даної задачі матіме вигляд:
,
або
В
за завдання Крайової умів.
Очевидно, что ЯКЩО процес - оптимальний, то, будучи підставленім у рівняння Беллмана, ВІН дасть тотожність
.
Зауваження. Оскількі функція Беллмана дорівнює мінімальному значеннях цільового функціонала, что характерізує Перехід системи в кінцевій стан Зі стану , То в задачі оптімальної швідкодії ця функція показує оптимальний час переходу Зі стану біля фіксований стан.
7 Зв'язок методу дінамічного програмування Із принципом максимуму
Розглянемо задачу оптимального Керування з фіксованімі кінцямі та вільним годиною (6) з цільовім функціоналом, и Крайова Умова,. Вважатімемо, что годину Невідомий. p> Оптимальне Керування будемо вібіраті среди кусково-неперервно вектор-функцій. За принципом дінамічного програмування для оптимального процеса існує такий розв'язок рівняння Беллмана
, (19)
що - значення, а на якому досягається мінімум у лівій частіні рівняння (19).
Доведемо, Що з рівняння (19) віпліває Існування Деяк вектора, Який задовольняє співвідношенням принципом максимуму. Нехай - функція Беллмана, что відповідає оптимальному процеса. Розглянемо нову змінну
В
и нову функцію
,
де.
Вікорістовуючі ці позначені, перетворімо рівняння Беллмана. Очевидно, что
,, , br/>
того
В
Оскількі, то Останнє співвідношення можна привести до вигляд:
. (20)
Позначімо
,.
Тоді формула (20) становится аналогом Функції Понтрягіна
,
де.
Це означає, что на оптимальному процесі функція Понтрягіна набуває Максимальне значення, Рівного 0. Очевидно, что функція Понтрягіна НЕ покладів від, того что и, що не залежався від.
Доведемо, что спряжені змінні задовольняють спряженій Системі
,. (21)
Для цього Припустиме, что функція Беллмана має неперервні частинні похідні іншого порядку. Позначімо
. (22)
Оскількі оптімальне Керування однозначно візначає Оптимальну траєкторію, то функція досягає на шкірному фіксованому по змінній максимального значення, Рівного 0, у точці, что відповідає оптимальному Керування в Цій точці. У цьом випадка для Функції в будь-який момент годині для процеса буде виконан Умова
,, . (23)
Продіференціюємо співвідношення (22):
,.
Тоді відповідно до (23) для оптимального процеса дістанемо
