ервалу приймає найбільше або найменше значення. Тоді можливі тільки два випадки:
1) похідна функції f '(x 0 ) не існує;
2) f '(x 0 ) = 0 . p> Точки, в яких похідна функції звертається в нуль або не існує, називаються критичними точками (першого роду). Екстремум функції, якщо він існує, може бути тільки в критичних точках. Однак не у всякій критичній точці функція має екстремум. Тому, щоб з'ясувати, в яких точках функція має екстремум, необхідно знати достатні умови існування екстремуму.
Перше достатня умова екстремуму. Нехай функція y = f (х) неперервна в точці х 0 і в деякій її - околиці має похідну, крім, бути може, самій точки х 0 . Тоді:
1) якщо похідна f '(x) при переході через точку х 0 змінює знак з плюса на мінус, то х 0 є точкою максимуму.
2) якщо похідна f '(x) при переході через точку х 0 змінює знак з мінуса на плюс, то х 0 є точкою мінімуму.
3) якщо похідна при переході через точку х 0 НЕ змінює знак, то в точці х 0 функція f (x) не має екстремуму.
Друге достатня умова екстремуму. Якщо функція y = f (х) визначена і двічі диференційовна в деякій околиці точки х 0 , причому f '(x 0 ) = 0, а f'' (x 0 ) 0, то в точці х 0 функція f (х) має максимум, якщо f'' (x 0 ) <0, і мінімум, якщо f'' (x 0 )> 0.
3. Опуклість графіка функції
Графік функції y = f (х), х (a, b) називається опуклим вгору (увігнутим вниз) на інтервалі (a, b), якщо графік розташований нижче (точніше не вище) будь-якої своєї дотичній. Сама функція f (х) також називається опуклою вгору (увігнутою вниз).
Графік функції y = f (х), х (a, b) називається опуклим вниз (увігнутим вгору) на інтервалі (a, b), якщо графік розташований вище (точніше не нижче) будь-якої своєї дотичній. Сама функція f (х) також називається опуклою вниз (увігнутою вгору).
На інтервалі опуклості вгору (угнутості вниз) похідна функції убуває. На інтервалі опуклості вниз (угнутості вгору) похідна f '(x) зростає. p> Достатня умова опуклості графіка функції. Якщо на інтервалі (a, b) двічі диференціюється функція y = f (х), х (a, b) має негативну (Позитивну) похідну другого порядку, то графік функції є опуклим вгору (вниз).
Дослідити на опуклість графік функції y = f (х) означає знайти ті інтервали з області її визначення, в яки...
