Два неевклідових відрізки рівні, якщо один з них неевклідовим рухом можна перевести в інший. Такі основні поняття аксіоматики планіметрії Лобачевского.
Всі аксіоми планіметрії Лобачевского несуперечливі. "Неевклидова пряма - це півколо з кінцями на чи абсолюті промінь з початком на абсолюті і перпендикулярний абсолюту". Таким чином, твердження аксіоми паралельності Лобачевского виконується не тільки для деякої прямої a і точки A , що не лежить на цій прямій, але і для будь-якої прямої a і будь не лежить на ній точки A .
За геометрією Лобачевського виникли й інші несуперечливі геометрії: від евклідової відокремилася проективна геометрія, склалася багатовимірна евклідова геометрія, виникла риманова геометрія (загальна теорія просторів з довільним законом виміру довжин) і ін З науки про фігури в одному тривимірному евклідовому просторі геометрія за 40 - 50 років перетворилася на сукупність різноманітних теорій, лише в чомусь подібних зі своєю прародителькою - геометрією Евкліда.
Основні етапи становлення сучасної математики. Структура сучасної математики
Академік А.Н.Колмогоров виділяє чотири періоди розвитку математики: зародження математики, елементарної математики, математики змінних величин, сучасної математики.
У період розвитку елементарної математики з арифметики поступово виростає теорія чисел. Створюється алгебра як буквене числення. А створена стародавніми греками система викладу елементарної геометрії - геометрії Евкліда - на два тисячоліття вперед зробилася зразком дедуктивного побудови математичної теорії. p align="justify"> У XVII столітті запити природознавства і техніки призвели до створення методів, що дозволяють математично вивчати рух, процеси зміни величин, перетворення геометричних фігур. З вживання змінних величин в аналітичній геометрії і створення диференціального й інтегрального числення починається період математики змінних величин. Великим відкриттям XVII століття є введене Ньютоном і Лейбніцем поняття нескінченно малої величини, створення основ аналізу нескінченно малих величин (математичного аналізу). p align="justify"> На перший план висувається поняття функції. Функція стає основним предметом вивчення. Вивчення функції призводить до основних понять математичного аналізу: межі, похідної, диференціалу, інтегралу. p align="justify"> До цього часу відносяться і поява геніальної ідеї Р. Декарта про метод координат. Створюється аналітична геометрія, яка дозволяє вивчати геометричні об'єкти методами алгебри та аналізу. З іншого боку метод координат відкрив можливість геометричної інтерпретації алгебраїчних і аналітичних фактів. p align="...
