постулати визначають дії за допомогою ідеальної лінійки, третій - за допомогою ідеального циркуля. Четвертий, "усі прямі кути рівні між собою", є зайвим, тому що його можна вивести з інших аксіом. Останній, п'ятий постулат говорив: "Якщо пряма падає на дві прямі й утворить внутрішні однобічні кути в сумі менше двох прямих, то, при необмеженому продовженні цих двох прямих, вони перетнуться з тієї сторони, де кути менше двох прямих".
П'ять "загальних понять" Евкліда є принципами виміру довжин, кутів, площ, об'ємів: "рівні тому самому рівні між собою", "якщо до рівного додати рівні, суми рівні між собою" ;, "якщо від рівних відняти рівні, залишки рівні між собою", "суміщають один із одним рівні між собою", "ціле більше частини".
Далі почалася критика геометрії Евкліда. Критикували Евкліда по трьох причинах: за те, що він розглядав тільки такі геометричні величини, які можна побудувати за допомогою циркуля і лінійки; за те, що він розривав геометрію й арифметику і доводив для цілих чисел те, що вже довів для геометричних величин, і , нарешті, за аксіоми Евкліда. Найбільш сильно критикували п'ятий постулат, самий складний постулат Евкліда. Багато хто вважав його зайвим, і що його можна і потрібно вивести з інших аксіом. Інші вважали, що його слід замінити більш простим і наочним, рівносильним йому: "Через точку поза прямою можна провести в їх площині не більше одній прямій, що не перетинає дану пряму". p align="justify"> Критика розриву між геометрією і арифметикою привела до розширення поняття числа до дійсного числа. Суперечки про п'ятому постулаті призвели до того, що на початку XIX століття Н.И.Лобачевский, Я.Бойяі і К.Ф.Гаусс побудували нову геометрію, в якій виконувалися всі аксіоми геометрії Евкліда, за винятком п'ятого постулату. Він був замінений протилежним твердженням: "У площині через точку поза прямою можна провести більше однієї прямої, що не перетинає дану". Ця геометрія була настільки ж несуперечливою, як і геометрія Евкліда. p align="justify"> Модель планіметрії Лобачевского на евклідовій площині була побудована французьким математиком Анрі Пуанкаре в 1882 році.
На евклідовій площині проведемо горизонтальну пряму. Ця пряма називається абсолютом ( x ). Точки евклідовій площині, що лежать вище абсолюту, є точками площини Лобачевського. Площиною Лобачевського називається відкрита напівплощина, що лежить вище абсолюту. Неевклідові відрізки в моделі Пуанкаре - це дуги кіл з центром на абсолюті або відрізки прямих, перпендикулярних абсолюту ( AB, CD ). Фігура на площині Лобачевского - фігура відкритої напівплощини, що лежить вище абсолюту ( F ). Неевклидово рух є композицією кінцевого числа інверсій з центром на абсолюті і осьових симетрій, осі яких перпендикулярні абсолюту....
