justify">
.2.2 Інтерполяція функцій Отже, як було сказано вище, завданням інтерполяції є пошук такої многочлена, графік якого проходить через задані точки.
Нехай функція y = f (x) задана за допомогою таблиці (табл. 1).
Таблиця 1
xx0x1x2xnyy0y1y2yn
В
Необхідно отримати многочлен P n (x) такий, щоб виконувалася умова: P n (x i ) = y i .
Для цього поставимо конкретним видом многочлена. Нехай P n (x) має наступний вигляд:
P n (x i < span align = "justify">) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + ... + a n x n .
Для того, щоб визначити коефіцієнти a 0 , a 1 , ... необхідно вирішити систему з n рівнянь з n невідомими:
В
Поліном з коефіцієнтами, отриманими шляхом вирішення системи називають інтерполяційним поліномом Лагранжа і позначають L n (x). Рішення системи дуже занадто, тому інтерполяційний поліном Лагранжа представляють у вигляді лінійної комбінації многочленів ступеня n:
В
.
Необхідно, щоб кожен многочлен l i (x) звертався в нуль у всіх вузлах інтерполяції, за винятком i- го, в якому він дорівнює 1 (Мал. 2). Якщо l i (x) задовольняє таким умовам, то в i-му вузлі інтерполяції многочлен L n (x) прийме значення y i , що задовольняє умові поставленого завдання. Таким умовам задовольняє многочлен виду:
(1.12)
Таким чином, інтерполяційний многочлен Лагранжа можна наступній загальною формулою:
(1.13)
1.2.3 Метод найменших кв...
