, що
(1.6)
тобто (1.7)
але, як відомо:
(1.8)
Зіставлення формул (1.7) і (1.8) дає співвідношення між граничною абсолютною похибкою і граничної відносною похибкою:
(1.9)
З цієї формули іноді висловлюють і пишуть:
(1.10)
Вищевикладена теорія похибок заснована на допущенні, що-похибки настільки малі, що їх квадратами можемо вже нехтувати (на цьому засновано В«обрізанняВ» формули Тейлора).
Тому всі введені формули втрачають силу, якщо ці умови порушені. У таких випадках потрібно використовувати і квадратичні члени, щоб отримати більш точну теорію. p> Але треба враховувати, що в цьому випадку формули значно ускладнюються.
.2 Основні чисельні методи
.2.1 Рішення алгебраїчних і трансцендентних рівнянь
Нехай задана безперервна функція f (х) і потрібно знайти всі або деякі корені рівняння
f (x) = 0. (1.11)
Це завдання розпадається на кілька завдань. По-перше, треба досліджувати кількість, характер і розташування коренів. По-друге, знайти наближені значення коренів. По-третє, вибрати з них цікаві для нас коріння і обчислити їх з необхідною точністю. p align="justify"> Перша і друга завдання вирішуються аналітичними і графічними методами. Коли шукаються тільки дійсні корені рівняння, то корисно скласти таблицю значень f (x). Якщо в двох сусідніх вузлах таблиці функція має різні знаки, те між цими вузлами лежить непарне число коренів рівняння (щонайменше, один). Якщо ці вузли близькі, то, скоріш за все, корінь між ними тільки один. Але виявити за таблицею коріння парною кратності складно. По таблиці можна побудувати графік функції у = f (х) і графічно знайти точки його перетину з віссю абсцис. Цей спосіб більш наочний і дає непогані наближені значення коренів. У багатьох задачах техніки така точність вже достатня. У техніці ще популярні графічні методи розв'язання рівнянь (Номографія). Побудова графіка дозволяє виявити навіть коріння парною кратності. p align="justify"> Іноді вдається замінити рівняння (1.11) еквівалентним йому рівнянням j (х) = y (х), в якому функції y 1 = j (х) і y 2 < span align = "justify"> = y (х) мають нескладні графіки. Наприклад, рівняння хsinх-1 = 0 зручно перетворити до виду sinx = l/x. Абсциси точок перетину цих графіків будуть корінням вихідного рівняння.
Наближені значення коренів уточнюють різними ітераційними методами.
