p> Доказ. Ми вже бачили, що безліч природно ототожнюється з Т. Покажемо, що це відповідність є ізоморфізмом топологічних груп. Будемо позначати через характер, який визначається умовою, Т. Рівність показує,
що відповідність є ізоморфізмом груп Т і ^. Залишилося перевірити, що це відповідність є гомеоморфізмом. Оскільки група дискретна, кожен компакт в складається з кінцевого числа точок. Значить, збіжність в є поточечной збіжністю. Рівність (2) показує, що тоді і тільки тоді, коли, тобто коли. Теорема доведена. p> Також можна довести, що група Т ^ ізоморфна. Тоді отримуємо, що групи і Т подвійні один до одного. Цей факт є окремим випадком принципу подвійності Л. С. Понтрягіна:
Для будь локально компактної топологічної групи G природне відображення G в (G ^) ^, яке елементу gG ставить у відповідність характер fg на G ^ за формулою
, G ^,
є ізоморфізмом топологічних груп.
Зауважимо, що для загальних топологічних груп цей принцип не завжди виконується.
1.3 Функціональна характеристика показовою функції
Для знаходження характерів нам знадобиться розв'язувати рівняння виду (1). Однак спочатку розглянемо задачу:
Шукати всі безперервні в проміжку функції f (x), що задовольняють умові
f (x + y) = f (x) + f (y), (3)
які б не були значення x та у.
Рівняння (3) є найпростішим прикладом так званих функціональних рівнянь, що формулюють якась властивість шуканої функції, за яким вона і повинна бути знайдена. Наше завдання полягає у знаходженні всіх безперервних рішень рівняння (3). p> Легко бачити, що лінійні однорідні функції виду
f (x) = cx (c = const) (4)
задовольняють цьому рівнянню. Покажемо, що вони будуть єдиними безперервними функціями, мають властивість (3). p> Насамперед, за допомогою методу математичної індукції легко узагальнити співвідношення (3) на випадок будь-якого числа (= n) доданків:
= f (x) + f (y) + ... + f (z) (5)
Дійсно, якщо припустити вірність його для будь-якого числа n2 доданків, то воно виявиться вірним і для n +1 доданків:
,
Вважаючи в (5) x = y = ... = z, знайдемо:
f (nx) = nf (x). (6)
Замінивши тут x на, отримаємо
,
А потім, якщо підставити mx (m-натуральне) замість x і використовувати попереднє рівність, прийдемо до співвідношення
(7)
Покладемо тепер в основному рівнянні (3) x = y = 0; отримаємо
f (0) = 2f (0), звідки f (0) = 0. (8)
Якщо ж взяти y = - x, то, з урахуванням (8) знайдемо:
f (-x) = - f (x),
т. е. функція f (x) непарна, тоді з (6) і (7) легко отримати:
f (-nx) = - f (nx) =-n f (x) (9)
і, аналогічно, взагалі
(10)
Отримані співвідношення (6) - (10) можуть бути об'єднані в рівності
