>
f (rx) = rf (x),
справедливому для будь-якого речового значення x, яке б не було раціональне число r.
Якщо взяти тут x = 1 і позначити f (1) через c, то отримаємо
f (r) = сr.
Таким чином, ми, власне кажучи встановили вже вид функції f, але поки що лише для раціональних значень аргументу. При цьому ми використовували тільки той факт, що функція задовольняє умові (3), і не спиралися на її безперервність. p> Нехай тепер q буде будь-яке ірраціональне значення аргументу. Легко побудувати прагне до нього послідовність раціональних чисел r1, r2, ..., rn, ...
(можна, наприклад, взяти відрізки відповідної нескінченної десяткового дробу). Ми тільки що показали, що
f (rn) = сrn (n = 1,2, ...),
Перейдемо тут до межі при; праворуч ми отримаємо сq, ліворуч ж, саме зважаючи припущень безперервності функції f, вийде
lim f (rn) = f (q),
так що, остаточно,
f (q) = cq.
Таким чином, дійсно, наша функція при всіх речових значеннях аргументу виражається формулою (4). Ця формула дає саме загальне рішення рівняння (3) в безперервних функціях. p> Повернемося тепер до рівняння (1). Вирішимо його спочатку для речовинно-значних функцій. Отже, розглянемо рівняння
f (x + y) = f (x) * f (y), (3)
де f: безперервна. Неважко помітити, що якщо
f (x) = ax (a> 0), (4)
те, які б не були два дійсних числа x і у, рівність (3) завжди має місце. Виявляється, що функціональним властивістю (3), разом з властивістю безперервності, показова функція визначається цілком. Точніше кажучи: єдиною функцією, визначеною і безперервної у всьому проміжку і задовольняє в ньому умові (3), є показова функція (якщо не вважати функції, тотожно рівний 0). p> Іншими словами, формула (4) - за зазначеним винятком - дає саме загальне рішення функціонального рівняння (3) в безперервних функціях.
Для доказу цього розглянемо довільну функцію f (x), визначену і безперервну при всіх x і задовольняє умові (3). Виключається тривіальний випадок, коли f (x) 0. p> Отже, при деякому значенні x = х0 ця функція відмінна від 0. p> Вважаючи в (3) у = х0-х, отримаємо
f (x) f (х0-х) = f (х0) 0;
звідси ясно, що f (x) відмінна від 0 при всякому х. Більше того, замінюючи в (3) x і у через, знайдемо:
f (x) =,
так що f (x) завжди суворо позитивна.
Користуючись цим, прологарифмируем рівність (3), наприклад, по натуральному основи е:
ln f (x + y) = ln f (x) + ln f (y).
Якщо покласти
(x) = ln f (x),
то в особі (x) ми будемо мати функцію, безперервну (як результат суперпозиції неперервних функцій, і задовольняє умові:
(x + y) = (x) + (y),
аналогічного (А). У такому випадку, як ми встановили, необхідно
(x) = ln f (x) = cx (з = const.), ...
