? х змінна? також є нескінченно мала величина і притому прагне до нуля швидше, ніж? х, так як
.
Взагалі, якщо дві нескінченно малі величини? і? пов'язані між собою умовою, то говорять, що? є нескінченно мала більш високого порядку, чим?.
Таким чином, величина? є нескінченно мала більш високого порядку, чим? х. Це означає, що при досить малих? х величина? у багато разів менше, ніж? х. Доказ цього факту є в багатьох посібниках з математичного аналізу, але воно виходить за рамки нашої програми.
Таким чином, при малих? х величиною? =? ? х часто нехтують і задовольняються наближеною формулою
? y=f '(x)? x.
Визначення. Диференціалом або головною частиною приросту функції у=f (х) в точці х, відповідним приросту? х, називається твір похідної f '(х), обчисленої в точці х, на? х.
Диференціал функції у=f (х) позначається через dy або df (x). Таким чином,
dу=у « ? х або df (x)=f »(х)? х.
З визначення диференціала випливає, що він є функцією двох незалежних змінних - точки х та прирощення? х.
Одним з основних властивостей диференціала, яке має широке застосування на практиці - це те, що, нехтуючи нескінченно малими вищого порядку, можна наближено замінювати? у - приріст функції її диференціалом dy.
7. Визначення первісної функції
Функція F (x) називається первісною для функції f (x), якщо виконується рівність F? (X)=f (x).
Наприклад:
1) f (x)=3x 2; F (x)=x 3; т. к. (x 3)? =3x 2;
2) f (x)=cosx; F (x)=sinx, т. к. (sinx)? =Cosx.
8. Теорема про існування нескінченної кількості первісних
Теорема. Якщо функція f (x) має первісну, то вона має нескінченну безліч первісних F (x) + С, С=const.
Наприклад: f (x)=5x 4; F (x)=x 5, т. к. (x 5)? =5x 4; F (x)=x 5 +11; F (x)=x 5 - 22
9. Геометричне зображення первообразной
З геометричної точки зору графіки первообразной можна отримати один з одного паралельним перенесенням уздовж осі Оy.
Визначення невизначеного інтеграла
Визначення. Невизначеним інтегралом від функції f (х) називається сукупність всіх первісних виду F (x) + C і позначається, де f (x) - подинтегральная функція, f (x) dx - підінтегральний вираз.
Наприклад:.
Визначення. Процес знаходження первообразной називається інтегруванням .
Інтегрування - це дія зворотне диференціюванню.
10. Властивості невизначеного інтеграла
Властивості інтеграла:
1) (Інтеграл суми дорівнює сумі інтегралів); ??
) (Постійний множник можна винести за знак інтеграла);
) (Інтеграл від складної функції).
12. Таблиця невизначених інтегралів
1. 7. 2. 8. 3. 9. 4. 10. 5. 11. 6. 12.
