бу):
Окремі випадки:
;.
Складна функція. Похідна складної функції. Якщо у є функція від u: у=f (u), де і, в свою чергу, є функція від аргументу х: u =? (Х), тобто якщо у залежить від х через проміжний аргумент u, то у називається складною функцією від х (функцією від функції):
Похідна складної функції дорівнює її похідної по проміжному аргументу, помноженої на похідну цього аргументу за незалежною змінною:
або
Формули диференціювання
4. Геометричний зміст похідної функції
На лінії, заданої рівнянням у=f (х), візьмемо фіксовану точку М 0 (х 0; у о) і довільну точку М (х; у). Проведемо січну М 0 М і через? позначимо кут, утворений цією січної з позитивним напрямом осі х (рис. 1). При прагненні точки М по лінії у=f (x) до точки М 0 січна М 0 М прагне зайняти положення прямої M 0 K, а кут а прагне стати рівним кутку? . Тут
де? y=f (x) - f (x0); ? X=x-x0, a
Рис. 1
Визначення Дотичній до лінії в даній її точці М 0 називається граничне положення січної М 0 М при прагненні точки М по лінії до точки М 0.
Кутовим коефіцієнтом k прямий (зокрема, дотичній) називається тангенс кута нахилу прямої до позитивного напрямку осі х. Якщо? Х? 0, то tg?? Tg?, Тому
5. Фізичний зміст похідної функції
Нехай точка М переміщається по прямій і відомий закон руху цієї точки: S=f (t), де S - шлях, t - час. Потрібно знайти справжню швидкість руху в момент часу t.
S 0 S 0 +? S S 0 t 0 +? t t
Для рівномірного руху (тобто руху з постійною швидкістю) швидкість - це шлях поділений на час.
У нас рух, взагалі кажучи, нерівномірне. Розглянемо «сусідній» момент часу t0 +? T. За час? T точка пройшла шлях? S=f (t0 +? T) - f (t0). Середня швидкість на цьому проміжку. Т.к. ? T і? S - малі величини, то можна вважати, що Vср=(Vіст) t-t0. Щоб це наближене рівність стало точним, треба перейти до межі при? T? 0:
.
Таким чином, якщо відомий шлях як функція часу, то похідна шляху за часом - це швидкість руху. Це і є фізичний зміст похідної.
Аналогічно, якщо відома швидкість руху V=V (t), то її похідна - це прискорення (швидкість зміни швидкості). І взагалі можна сказати, що похідна функції в точці - це швидкість зміни функції в цій точці.
6. Визначення диференціала функції
З поняттям похідної тісно пов'язане поняття диференціала . Щоб з'ясувати сутність цього поняття, розглянемо функцію у=f (х), задану в інтервалі (а, b) і має в деякій точці х цього інтервалу похідну у « =F »? (X). Надамо х прирощення? Х, відмінне від нуля, але не виводить з інтервалу завдання функції. Через? Y позначимо відповідне прирощення функції. Так як відношення при прагненні? Х до нуля прагне до похідної у «, а різниця між змінною, що має межу, і цією межею є величина нескінченно мала, то величина - у» прагне до нуля разом з? х. Попереднє рівність можна записати у формі? Y=у '? X +? ? X, де?- Прагне до нуля разом з? Х.
Позначивши?? х =? , Ми бачимо, що при нескінченно малому...
