align="justify">
13. Визначення певного інтеграла Визначення. Певним інтегралом від функції f (x) на відрізку [a, b] називається межа її інтегральної суми (якщо він існує).
Тут: f (x) - подинтегральная функція;
f (x) dx - підінтегральний вираз;
a, b - межі інтегрування: «а» - нижній, «b» - верхній.
З формули випливає, що
Це рівність висловлює геометричний зміст визначеного інтеграла: визначений інтеграл є площа криволінійної трапеції.
Питання про існування інтеграла, на перший погляд, далеко не пусте: адже є безліч способів розбиття відрізка [a, b] на частини, є безліч способів вибирати точки? i і при цьому будуть виходити різні суми. А ось межі цих різних сум повинні бути однаковими - площа-то одна!
І взагалі має місце теорема про існування певного інтеграла : якщо функція f (x) неперервна на відрізку [a, b], то визначений інтеграл від неї на відрізку [a, b] існує і має єдине значення, яке не залежить ні від розбиття відрізка [a, b] на частини, ні від вибору точок.
Завдання № 1
У завданнях 1-10 відповісти письмово на теоретичні питання.
. Визначення границі функції. Правила розкриття невизначеностей типу.
. Визначення похідної функції. Геометричний зміст похідної функції.
. Визначення похідної функції. Фізичний зміст похідної функції.
. Визначення диференціала функції. Визначення диференціювання. Правила диференціювання.
. Визначення диференціювання. Формули диференціювання.
. Визначення первісної функції. Теорема про існування нескінченної кількості первісних. Геометричне зображення первісних.
. Визначення невизначеного інтеграла. Властивості інтеграла. Таблиця невизначених інтегралів.
. Визначення криволінійної трапеції. Площа криволінійної трапеції. Формула Ньютона-Лейбніца.
. Визначення певного інтеграла. Властивості визначеного інтеграла.
. Поняття про диференціальні рівняння. Визначення диференціального рівняння, порядок диференціального рівняння, рішення, спільне рішення, приватне рішення, інтегральна крива. Диференціальне рівняння першого порядку.
Завдання № 2
У завданнях 11-20 обчислити межі функції:
21.a) (2x2-3x +4);
б);
в);
. a) (3x3 + x2 +8 x +10);
б);
в);
. a) (x3-x2 +1);
б);
в);
. a) (2x2-8x +4);
б);
в);
. a) (2x2-4x +5);
б);
в);
. a) (- 3x2 +4 x - 8);
б);
в);
. a) (4x4-5x2 +4);
б);
в);
. a) (4x3-2x - 1);
б);
в);
. a) (2x2 +4 x);
б);
в);
. a) (x3-x2 +1);
б);
в).
Рішення типових прикладів
Обчислити межі:
) (4x-x2 +8).
У цьому прикладі необхідно провести безпосередню підстановку.
(4x-x2 +8)=4.3 -32 +8=12-9 +8=11
) =.
Безпосередня підстановка призводить до невизначеності типу. Щоб розкрити цю невизначеність, розкладемо чисельник і знаменник на множники і скоротимо члени дробу на спільний множник (х - 2).
Чисельник:
2х2 + х ...
