я
Розглянемо випадок, коли на маятник діє зовнішня сила
.
Рівняння коливань в цьому випадку має вигляд
або
,
де.
Рішення рівняння вимушених коливань запишемо у вигляді
,
де
-
загальне рішення однорідного рівняння,
-
приватне рішення неоднорідного рівняння. Тут
-
кут зсуву фаз,
-
амплітуда, яка залежить від частоти прикладеної напруги.
Функція описує власні коливання маятника. Ці коливання не залежать від зовнішньої сили, мають затухаючий характер і через час майже зникають.
Функція описує вимушені коливання, створювані зовнішніми силами. Це незгасаючі коливання з частотою зовнішнього збудження.
Неважко показати, що максимальне значення амплітуди досягається при частоті
,
яка називається резонансною, а саме явище зростання амплітуди вимушених коливань при певній частоті називається резонансом. Резонансна крива має вигляд, показаний на малюнку.
Рис.
При резонансній частоті амплітуда коливань зростає в багато разів. Явище резонансу слід враховувати при будівництві будівель, споруд, машин. Власна частота коливань цих об'єктів повинна бути далека від частоти вимушених коливань, яким можуть піддаватися ці об'єкти. В іншому випадку виникають вібрації великої амплітуди, які можуть викликати катастрофу. Такі випадки неодноразово відзначалися.
Водночас явища резонансу можуть бути дуже корисними, коли потрібно багаторазове посилення необхідних коливань. Це явище широко використовується в радіотехніці, акустиці, при створенні надточних приладів.
Важливу роль в техніці грають автоколебания. Автоколиваннями називають незгасаючі коливання, підтримувані в диссипативной системі за рахунок постійного зовнішнього джерела енергії, причому властивості цих коливань визначаються самою системою.
Приклади автоколебаний: годинник, лампові генератори, двигуни внутрішнього згорання і пр. Сувора теорія автоколивальних систем дуже складна, тому що такі системи описуються нелінійними диференціальними рівняннями, і в більшості випадків отримати суворе аналітичне рішення таких рівнянь не вдається.
6. Хвильові процеси
Якщо розглядається суцільна середу, то в ній можуть поширюватися коливання. Процес поширення коливань називається хвилею або хвильовим процесом. Хвилі можна розділити на поздовжні і поперечні.
Хвилі називають поперечними, якщо частки середовища зміщуються в напрямку перпендикулярному напрямку поширення хвилі.
Прикладами поперечних хвиль є хвилі на поверхні води, електромагнітні хвилі, пружні хвилі, що поширюються у твердих тілах.
Хвилі називають поздовжніми, якщо частки середовища зміщуються в напрямку поширення хвилі.
Для щільності середовища в поздовжніх хвилях виходить періодична функція (стиснення - розтягнення). Приклади поздовжніх хвиль: поширення звуку, внутрішні хвилі в твердих, рідких і газоподібних тілах.
Відзначимо, що при поширенні хвилі частинки середовища здійснюють періодичні коливання. Тому хвилі і коливальні процеси пов'язані між собою і мають багато спільного. Введемо основні характеристики хвильових проце...
