о раціональні корені многочлена
х3 - 5х2 + 7х + 8
р: ± 1; ± 2; ± 4; ± 8
q: ± 1
f (1)=1 - 5 + 7 + 8? 0
f (- 1)=- 1 - 5 - 7 - 8? 0
f (2)=8 - 20 + 14 + 8? 0
f (- 2)=- 8 - 20 - 14 + 8? 0
f (- 4)=64 - 90 - 28 + 8? 0
f (4)? 0
f (- 8)? 0
f (8)? 0
Крім числа x0=- 3 інших раціональних коренів немає.
б) х4 - 2х3 - 13х2 - 38х - 24
р: ± 1; ± 2; ± 3; ± 4; ± 6; ± 8; ± 12; ± 24
q: ± 1
f (1)=1 + 2 - 13 - 38 - 24? 0
f (- 1)=1 - 2 - 13 + 38 - 24=39 - 39=0, тобто х=- 1 корінь многочлена
12 - 13 - 38 - 24 - 111 - 14 - 240
х4 - 2х3 - 13х2 - 38х - 24=(х + 1) (х3 - х2 - 14х - 24)
Визначимо коріння многочлена третього ступеня х3 - х2 - 14х - 24
р: ± 1; ± 2; ± 3; ± 4; ± 6; ± 8; ± 12; ± 24
q: ± 1
f (1)=- 1 + 1 + 14 - 24? 0
f (- 1)=1 + 1 - 14 - 24? 0
f (2)=8 + 4 - 28 - 24? 0
f (- 2)=- 8 + 4 + 28 - 24? 0
Значить, другий корінь многочлена х=- 2
11 - 14 - 24 - 21 - 1 - 120
х4 - 2х3 - 13х2 - 38х - 24=(х + 1) (х2 + 2) (х2 - х - 12)=
=(х + 1) (х + 2) (х + 3) (х - 4)
Відповідь: - 3;- 2;- 1; 4
Застосування схеми Горнера при вирішенні рівнянь з параметром
Знайдіть найбільше ціле значення параметра а, при якому рівняння f (х)=0 має три різних корені, один з яких х0.
а) f (х)=х3 + 8х2 + ах + b, х0=- 3
Так один з коренів х0=- 3, то за схемою Горнера маємо:
18аb - 315 - 15 + а0
=- 3 (- 15 + а) + b
=45 - 3а + b
b=3а - 45
х3 + 8х2 + ах + b=(х + 3) (х2 + 5х + (а - 15))
Рівняння х2 + 5х + (а - 15)=0 повинно мати два кореня. Це виконується тільки в тому випадку, коли D> 0
а=1; b=5; с=(а - 15),=b2 - 4ac=25 - 4 (a - 15)=25 + 60 - 4a> 0,
- 4a> 0;
a < 85;
a < 21
Найбільше ціле значення параметра а, при якому рівняння
f (х)=0 має три кореня, а=21
Відповідь: 21.
б) f (x)=x3 - 2x2 + ax + b, x0=- 1
Так як один з коренів х0=- 1, то за схемою Горнера маємо
1 - 2ab - 11 - 33 + а0 - 2x2 + ax + b=(x + 1) (x2 - 3x + (3 + a))
Рівняння x2 - 3x + (3 + a)=0 повинно мати два кореня. Це виконується тільки в тому випадку, коли D> 0
=1; b=- 3; c=(3 + a),=b2 - 4ac=9 - 4 (3 + a)=9 - 12 - 4a=- 3 - 4a> 0,
3 - 4a> 0;
4a < 3;
a <-
Найбільше значення а=- 1
Відповідь: - 1
в) f (x)=x3 + 11x2 + ax + b, x0=- 4
Так як один з коренів х0=- 4, то за схемою Горнера маємо
3 + 11x2 + ax + b=(х + 4) (х2 + 7х + (а - 28))
f (x)=0, ...
