айдемо спільне рішення, отримаємо:
(**)
Виконаємо перевірку за формулою (*):
Отримали нульовий вектор, з цього випливає, що рішення (**) знайдено вірно.
7. Рішення задачі Коші для методу Ейлера
Формулювання задачі Коші: з усіх рішень системи рівняння знайти таке рішення, в якому бере задане числове значення при заданому числовому значенні. Для вирішення задачі Коші підставляємо вектор початкових умов в вектор рішень системи диференціальних рівнянь, прирівнюємо незалежну змінну t до нуля.
Прирівнюємо до вектора початкових умов [1, 1, 2, 2]:
За допомогою функції SOLVE отримаємо коефіцієнти:
Підставимо отримані коефіцієнти в загальне рішення і отримаємо приватне рішення однорідної системі в точці х=0
Тепер виконаємо перевірку за формулою (*), підставивши у вихідне:
Отримали нульовий вектор, значить, завдання Коші вирішена правильно.
8. Знаходження координат особливих точок і визначення їх типів
Нелінійна система - динамічна система <# «64» src=«doc_zip122.jpg» />
При цьому і такі, що в точці звертаються в нуль. Введемо наступні позначення:
Тоді визначник матриці
(***)
є характеристичним поліномом, при підстановці в який особливих точок можна визначити їх тип по виду характеристичних чисел, а саме:
Власні значеніяТіп особливих точекФазовая траекторіяЧісто мнімиеЦентр <# «justify» height=«177» src=«doc_zip133.jpg» /> <# «Justify» height=«177» src=«doc_zip134.jpg» /> <# «Justify» height=«177» src=«doc_zip135.jpg» /> Дійсні положітельниеНеустойчівий вузол Дійсні різних знаковСедло
Досліджуємо нелінійну систему:
dx / dt=x2 - y
dy / dt=cos (x)
Дозволимо її відносно x, y:
Отримали 3 особливих точки з координатами x і y. Побудуємо визначник для даної системи виду:
Дорівнявши його до нуля, по черзі підставляючи знайдені раніше точки, дозволимо щодо власних значень?.
Для першої особливої ??точки:
Для другої точки:
Для третьої:
Аналізуючи знайдені значення?, визначимо типи особливих точок і типи фазових траєкторій.
В результаті вищевикладених дій отримали наступні типи особливих точок: перший тип особливої ??точки - сідло (тип фазової траєкторії - гіперболи); другий тип особливої ??точки - стійкий вузол (тип фазової траєкторії - параболи); третій - нестійкий вузол (тип фазової траєкторії - параболи).
9. Побудова фазового портрета
Фазовий портрет - графічне зображення системи на фазовій площині (або в багатовимірному просторі), по координатних осях якого відкладені значення величин змінних системи. Поведінка змінних в часі при такому способі подання для кожної початкової точки описується фазової траєктор...
