жність ряду на кінцях інтервалу збіжності.
При статечної ряд перетворюється на числовий ряд
який розходиться як гармонійний ряд.
При статечної ряд перетворюється на числовий ряд
.
Це - Знакозмінні ряд, члени якого убувають за абсолютною величиною і
Отже, за ознакою Лейбніца цей числовий ряд сходиться.
Таким чином, проміжок - область збіжності даного статечного ряду [5].
Статечної ряд (1.6) являє собою функцію визначену в інтервалі збіжності тобто
Наведемо кілька властивостей функції
Властивість 1. Функція є безперервною на будь-якому відрізку належить інтервалу збіжності
Властивість 2. Функція дифференцируема на інтервалі і її похідна може бути знайдена почленного дифференцированием ряду (1.6), тобто
для всіх
Властивість 3. Невизначений інтеграл від функції для всіх може бути отриманий почленного інтеграції ряду (1.6), тобто
для всіх
Слід зазначити, що при почленного диференціюванні та інтегрування статечного ряду його радіус збіжності не змінюється, проте його збіжність на кінцях інтервалу може змінитися [6].
Наведені властивості справедливі також і для статечних рядів (1.5).
Приклад 1.4. Розглянемо статечної ряд
Область збіжності цього ряду, як показано в прикладі 1.3, є проміжок
Почленно продифференцируем цей ряд:
(1.7)
По властивості 2 інтервал збіжності отриманого статечного ряду (1.7) є інтервал
Досліджуємо поведінку цього ряду на кінцях інтервалу збіжності.
При статечної ряд (1.7) перетворюється на числовий ряд
Цей числовий ряд розходиться, тому що не виконується необхідна ознака збіжності
який не існує.
При статечної ряд (1.7) перетворюється на числовий ряд
який також розходиться, тому що не виконується необхідна ознака збіжності.
Отже, область збіжності степеневого ряду, отриманого при почленного диференціюванні вихідного статечного ряду, змінилася і збігається з інтервалом [5].
1.3 Ряд Тейлора. Ряд Маклорена
Нехай - дифференцируемая нескінченне число разів функція в околиці точки тобто має похідні будь-яких порядків. Поруч Тейлора функції в точці називається статечної ряд
(1.8)
В окремому випадку при ряд (1.8) називається рядом Маклорена:
(1.9)
Виникає питання: В яких випадках ряд Тейлора для диференційованої нескінченне число разів функції в околиці точки збігається з функцією?
Можливі випадки, коли ряд Тейлора функції сходиться, проте його сума не дорівнює
Наведемо достатня умова збіжності ряду Тейлора функції до цієї функції.
Теорема 1.4: якщо в інтервалі функція має похідні будь-якого порядку і всі вони за абсолютною величиною обмежені одним і тим же числом, тобто то ряд Тейлора цієї функції сходиться до для будь-якого з цього інтервалу тобто має місце рівність
Для з'ясування виконання цієї рівності на кінцях інтервалу збіжності потрібні окремі дослідження.
Слід зазначити, що якщо функція розкладається в степеневий ряд, то цей ряд є поруч Тейлора (Маклорена) цієї функції, причому це розкладан...
