ня єдино [7].
1.4 Диференціальні рівняння
Звичайним диференціальним рівнянням n-го порядку для функції аргументу називається співвідношення виду
(1.10)
де - задана функція своїх аргументів.
У назві цього класу математичних рівнянь термін «диференціальне» підкреслює, що в них входять похідні (функції, утворені як результат диференціювання); термін - «звичайне» говорить про те, що шукана функція залежить тільки від одного дійсного аргументу.
Звичайне диференціальне рівняння може не містити в явному вигляді аргумент шукану функцію і будь-які її похідні, але старша похідна зобов'язана входити в рівняння n-го порядку [8].
Наприклад,
А) - рівняння першого порядку;
Б) - рівняння третього порядку.
При написанні звичайних диференціальних рівнянь часто використовуються позначення похідних через диференціали:
В) - рівняння другого порядку;
Г) - рівняння першого порядку, утворить після ділення на еквівалентну форму завдання рівняння:
Функція називається рішенням звичайного диференціального рівняння, якщо при підстановці в нього воно звертається в тотожність.
Знайти тим чи іншим прийомом, наприклад, підбором, одну функцію, що задовольняє рівнянню, не означає вирішити його. Вирішити звичайне диференціальне рівняння - означає знайти всі функції, що утворюють при підстановці в рівняння тотожність. Для рівняння (1.10) сімейство таких функцій утворюється за допомогою довільних постійних і називається загальним рішенням звичайного диференціального рівняння n-го порядку, причому число констант збігається з порядком рівняння: Загальне рішення може бути, і не дозволено явно щодо У цьому випадку рішення прийнято називати загальним інтегралом рівняння (1.10).
Задаючи деякі допустимі значення всім довільним постійним загалом рішенні або в загальному інтегралі, отримуємо певну функцію, вже не містить довільних констант. Ця функція називається приватним рішенням або приватним інтегралом рівняння (1.10). Для відшукання значень довільних постійних, а отже, і приватного рішення, використовуються різні додаткові умови до рівняння (1.10). Наприклад, можуть бути задані так звані початкові умови при:
(1.11)
У правих частинах початкових умов (1.11) задані числові значення функції і похідних, причому, загальне число початкових умов дорівнює числу визначаються довільних констант.
Завдання відшукання приватного рішення рівняння (1.10) за початковими умовами називається задачею Коші [9].
1.5 Інтегрування диференціальних рівнянь за допомогою рядів
У загальному випадку знаходження точного рішення звичайного диференціального рівняння (ОДУ) першого порядку його інтегруванням неможливо. Тим більше це нездійсненно для системи ОДУ. Ця обставина привела до створення великого числа наближених методів вирішення ОДУ і їх систем. Серед наближених методів можна виділити три групи: аналітичні, графічні і чисельні. Зрозуміло, подібна класифікація певною мірою умовна. Наприклад, графічний метод ламаних Ейлера лежить в основі одного із способів чисельного рішення диференціального рівняння.
Інтегрування ОДУ за допомогою статечних рядів є наближеним аналітичним методом, застосовуваним, як правило, до лінійних рівнянь н...
