де Функції и Нескінченна матриця дійсна та періодичні відносно з періодом; ;- Цілочіслові параметрами, Які зумовлюють відхилення аргументу;- Дійсний параметр. Інтерпретуючі як Кутові координати, вважатімемо, что система рівнянь (1) Визначи на вимірному Торі.
Надалі вважатімемо такоже, что відображення оборотне при шкірному
Причому - додатні Сталі, что НЕ залежався від,.
Через позначімо розвязок Першого рівняння (1), такий, что при шкірному.
Означення. Інваріантнім тором системи рівнянь (1) назвемо множини точок
ЯКЩО функція Визначи при будь-яких 2р-періодічна відносно обмеже за нормою и при будь-яких задовольняє Рівність
Припустиме, что однорідне рівняння
(2)
має функцію Гріна-Самойленка це означає, что існують матріцант рівняння (2) i 2р-періодічна відносно обмеже за нормою Нескінченна матриця, така, что функція
Задовольняє нерівність для всіх, де и додатні Сталі, что НЕ залежався від - Нескінченна одінічна матриця.
Легко Бачити, что для Існування Функції Гріна-Самойленка рівняння (2) при довільному й достатньо, щоб вона існувала при Зауважімо такоже, что у випадка Існування обмеженої за нормою оберненої матріці матріцант рівняння (2) зображується у вігляді
Причому матриця обортного и
Если рівняння (2) має функцію Гріна-Самойленка, то неважко переконатісь, что, система рівнянь (1) має інваріантній тор, Який породжується функцією
(3)
цею тор назівають неперервно або гладким відносно, ЯКЩО відповідну властівість має породжуючи его функція
Розглянемо спочатку систему рівнянь виду (1), яка НЕ ??поклади від параметра
(4)
Через позначімо множини ліпшіцевіх відображень, визначених на додатного сталь, яка Забезпечує нерівність, назвемо коефіцієнтом, з яким входити у Цю множини.
Теорема. Нехай при існує функція Гріна-Самойленка рівняння
,,
и віконуються умови:
) при будь-яких и це рівняння має єдиний ОБМЕЖЕНОЮ на множіні розвязок
)
коефіцієнтамі відповідно.
Тоді інваріантній тор системи рівнянь (4) породжується функцією виду (3), яка задовольняє умову Гельдера
де стала, что НЕ поклади від,
- Довільне додатне дійсне число, Яке задоволняє нерівність
пріі нерівність
прі.
Доведення. При умів сформульованої теореми
(5)
справджується Рівність
де через и позначені різніці и відповідно.
не стає труднощів здобудуть ОЦІНКИ
(6)
что справджується для довільного додатного числа.
Індуктівнімі міркуваннямі переконуємось у правільності нерівностей
(7)
при всех
Співвідношення (5), (6) Забезпечують правільність оцінка
(8)
де
ВРАХОВУЮЧИ (7) одержуємо нерівність
Далі розглянемо два випадка.
Випадок а): При маємо, что и
,
де
(9)
Если ж, то для справджується та ж сама оцінка, альо обірається з умови
...
