Випадок б): При маємо, що. Тут, де, в свою черго,
Если, то для справджується та ж сама оцінка, альо н слід підпорядкуваті умові (9).
Аналогічно запісуємо оцінку для:
Знову слід Розглянуто два випадка.
Випадок а): У цьом разі справджується оцінка де
,
а задовольняє умову (10)
Випадок б): Для справджується нерівність
де
а обірається з умови (10).
ВРАХОВУЮЧИ (8), маємо оцінку
де
У випадка оцінка (11) справджується при всех что задовольняють умову (6.10), а у випадка - умову
(12)
Позначімо через різніцю и запішемо нерівність
За аналогією до (6) неважко отріматі оцінку
де обірається в залежності від, Як це було вказано Вище. Тоді
де
Взявши до уваги (6), (7) i позначені через вирази,
Запісуємо Наступний нерівність
что приводити у свою черго до ОЦІНКИ
Позначімо Першу и другу суми, что стояти в правій частіні Останньоі нерівності, через та відповідно. Для кожної з них знов розглянемо два випадка.
Випадок в): Неважко перевіріті, что,
де, а - Довільне дійсне число при i підкоряється умові (13)
прі.
Випадок г): позначені
одержуємо оцінку При цьом - Довільне дійсне число при i підкоряється умові (6.13) при
Тепер випадка в) i г) розглянемо для суми.
Випадок в): Справджується оцінка
де
задовольняє умову
Випадок г): Справджується нерівність,
де, а задовольняє умову (14).
Тепер неважко переконатісь у правільності нерівності
(15)
де
У випадка оцінка (15) справджується при всех, Які задовольняють умові (14), а ЯКЩО - при всех, Які задовольняють нерівність
.
тепер можемо записатися оцінку. У випадка вона справджується, что задовольняють умову (10), у випадка, что задовольняють нерівність (12). Поклал, закінчуємо доведення теореми.
Тепер повернемось до РОЗГЛЯДУ системи рівнянь (1). Позначімо через Деяк неперервно неспадну на відрізку Скалярним функцію таку, что
Теорема. Нехай при існує Функції Гріна-Самойленка рівняння (6.2) i при всех
)
де - додатні Сталі, что НЕ залежався від
) при рівняння (2) має єдиний ОБМЕЖЕНОЮ на розвязок
)
Тоді функція породжуючи інваріантній тор системи рівнянь (1), неперервно за сукупністю змінніх причому справджується нерівність
(16)
де - додатного стала, яка НЕ ??поклади від
Доведення. Не ставайте особливая труднощів помощью індуктівніх міркувань перкконатіся в правільності Наступний нерівностей:
(17)
Для зручності введемо позначення
Запісуючі Рівність, аналогічну до (5), одержуємо оцінку увазі (8):
(18)
де
Для маємо:
что при умові 3 теореми приводити до нерівності
де
...
