имогам (1) - (4).
Визначення 6.
Функція u (x, t) називається функцією повільного зростання, якщо за будь-яких t? (T, T] вона задовольняє нерівності.
Теорема 5.
У класі функцій повільного зростання початкова задача (10) - (11) має єдине рішення.
Доказ теореми випливає з принципу максимуму для початкової задачі для рівнянь параболічного типу.
Теорема 6 (Принцип максимуму).
Нехай u (x, t) субпараболіческая (суперпараболіческая) функція, визначена в шарі t? (T0, T), тобто,, де? D? Rn +1. Передбачається, що функції - задовольняють вимогам (1) - (4). При t=t0 u непозитивним (неотрицательна) при t=t0 і належить класу функцій повільного зростання. Тоді u? 0 (u? 0) при всіх t? (T0, T].
Доказ. Доказ проведемо для субпараболіческіх функцій, так як випадок суперпараболіческх функції зводиться до нього заміною u ®-u.Покажем, що u? 0 на площині t=t0 + e. Для доказу введемо функцію типу потенціалу Fsb зі значеннями,. При такому виборі параметрів функція Fsb є суперпараболіческой. Введемо мале e і введемо функцію C2 - задається визначенням функцій повільного зростання. Зв'язок між значеннями M> 0 і e визначимо нижче. При t? t0 функція є суперпараболіческой, так як особливі точки підінтегральної вираження лежать нижче площини t=t0 (рис. 4). Величину R також виберемо нижче. Оцінимо значення функції vR на площині t=t0 і на бічній поверхні циліндра. На площині t=t0 функція vR задовольняє нерівності, тоді як. Вибираємо M таким чином, щоб при | x |=R функція vR задовольняла нерівності при t0? t? t0 + e, де C1 і C2 задаються у визначенні функцій повільного зростання. Так як u належить класу функцій повільного зростання, то вона задовольняє нерівності. Отже, на бічній поверхні і нижній підставі циліндра vR - u? 0. Оскільки функція vR - u є суперпараболіческой, то це нерівність справедливо при всіх t0? t? t0 + e. Правомірність такого вибору M обгрунтуємо наступними викладками. Оцінимо значення функції vR знизу
,
де а> 0 - const. Вибираючи, отримаємо шукане нерівність.
Для доказу нерівності вибираємо довільну точку (x, t) з шару (t0, t0 + e). Вибираючи R> 2 | x |, маємо
,
де wn - поверхня сфери одиничного радіуса в Rn. Вибираючи, отримуємо, тобто u (x, t)? 0 при всіх t0? t? t0 + e.
Розглядаючи інтервал t0 + e.? t? t0 + 2e, аналогічним чином показуємо, що u (x, t)? 0 при всіх t0? t? t0 + 2e і так далі. За кінцеве число кроків інтервал (t0, T) буде повністю покритий. Доказ закінчено.
II. Практичне застосування принципу максимуму при математичному моделюванні процесів
§ 1.Уравненіе теплопровідності
До класичних рівнянь параболічного типу відносяться рівняння теплопровідності.
Теорема (принцип максимального значення):.
Функція u (x, t) безперервна в? і яка задовольнить однорідному рівнянню теплопровідності:
(*) utt=a2uxx в G + H приймає найбільше і найменше значення на кордоні Г (тобто при х=0, x=l або t=0).
Фізичний сенс: якщо температура на кордоніабо в початковий момент часу менше K, то при відсутності джерел тепла, всередині тіла не може створюватися температура, велика К.
Доказ: від протилежного.
Позначимо М найбільше значення u (x, t) в? =G + H + Г, ...
