p>
внутрішнє інтегрування виконується вздовж лінії полярної сітки r=const (коло) або?=const (промінь), причому межі цього інтегрування
r1 (?), r2 (?) або? 1 (r),? 2 (r) - рівняння кордонів області вздовж лінії. »
Приклад 1.
=
tg (? 1)=2? ? 1=arctg (2); tg (? 2)=4? ? 2=arctg (4);
;
Приклад 2.
? «Безперспективно,
так як первообразная функції exp (-x2) не виражається за через елементарні функції, в полярних же координатах
=
Приклад 3.
=
tg (? 1)=2? ? 1=arctg (2); tg (? 2)=4? ? 2=arctg (4);
;
Зауваження. Якщо область інтегрування обмежена еліпсом або його дугою, рекомендується ввести «узагальнені полярні координати», які відображають еліпс в одиничний коло:
Наприклад,
Типова задача іспиту: (1) Відновити область інтегрування; (2) змінити порядок інтегрування; (3) записати подвійний інтеграл у полярних координатах
1.4 Обчислення потрійних інтегралів.
В R 3 використовуються три системи координат: прямокутна, циліндрична і сферична.
Таблиця
СістемаКоордінатние поверхні, Лінії їх пересеченіяПрямоугольная M (x, y, z) X=const? площині | | YOZ Y=const?- »-» - »| | XOZ Z=const?- »-» - »| | XOY (x, y)=const? | | OZ-лінія перетину двох плоскостейЦіліндріческая M (r,?, Z) r=const? співвісні циліндри?=const? площині через вісь OZ z=const? площині | | XOY (r,?)=const? пряма | | OZ-лінія перетину циліндра і площини (напрямна циліндра) (z, r)=const <=> окружність-лінія перетину циліндра і площини (z,?)=const? промінь | | XOY-лінія перетину двох плоскостейСферіческая R=const? концентричні сфери
?=const? площині через вісь OZ
?=const? прямі кругові конуси
(R,?)=const? окружність-лінія перетину сфери і площини
(R,?)=const? окружність-лінія перетину сфери і циліндра
(?,?)=const? промінь-лінія перетину конуса і площини
За визначенням; ? Vi-обсяг осередку при розбитті координатними поверхнями обраної системи координат.
У прямокутній системі осередок розбиття - прямокутний паралелепіпед, його обсяг? V =? xi?? j?? k? dV=dxdydz.
В циліндричної та сферичної системах осередок - криволінійний прямокутний паралелепіпед зі сторонами {? ri; ri?? j;? zk} і
{Ri?? k;? Ri; Risin (? k)?? j}
? V =? ri? ri?? j?? zk? dV=rdrd? dz
? V=Ri?? k?? Ri? Risin (? k)?? j ==> dV=R2sin (?) dRd? d?
Отже, потрійний інтеграл у цих системах має вигляд:
Зведення інтеграла від ФНП до кратного (послідовному) інтегруванню функцій однієї змінної відповідає упорядкуванню підсумовування в інтегральній сумі. У прямокутної і циліндричної системах координат впорядкування підсумовування дозволяє виділити суму, відповідну інтегральної сумі подвійного інтеграла по проекції області інтегрування D? R3 на одну з координатних площин, наприклад, на XOY:
Такому впорядкування підсумовування відпові...
