дає зведення потрійного інтеграла до інтегрування функції однієї змінної? (z)=f ((x, y)=const; z) вздовж прямої (x, y)=const, перпендикулярній координатної площині XOY, і подвійному інтегралу по проекції DXY області D на цю площину.
Алгоритм обчислення потрійного інтеграла в прямокутних і циліндричних координатах.
) спроектувати область інтегрування D? R3 на одну з координатних площин: наприклад, на площину XOY? DXY=ПРXOY (D).
) Записати рівняння поверхонь, що обмежують область D вздовж прямої, перпендикулярної обраної координатної площині, висловивши з рівняння поверхні G (x, y, z)=0 відповідну координату через дві інші:
G (x, y, z)=0? [Z=z (x, y) або y=y (x, z) або x=x (y, z)]
) проинтегрировал функцію однієї змінної, наприклад,
) Після цього обчислити подвійний інтеграл від функції F (x, y) в прямокутних або в полярних координатах по проекції області D? R3 на відповідну координатну площиною.
Наприклад,
Приклад. Обчислити потрійний інтеграл
) Область D обмежена: ліворуч - площиною y=0; праворуч - сферою радіуса 1; знизу-зверху-спереду-ззаду - поверхнею циліндра радіуса 1;
Очевидно, що проекція D на YOZ і XOY ПРYOZD=ПРXOZD - об'єднання прямокутника і сектора кола R=2; проекція ж на площину XOZ ПРXOZD-коло радіуса r=1.
) рівняння поверхонь «зліва і справа» уздовж лінії (x, z)=const | | ZOX
YЛЕВ (x, z)? 0; x2 + y2 + z2=4? YПР (x, z) =.
)
)
1.5 Заміна змінних у подвійному і в потрійному інтеграли
Нехай
і відповідні ФНП мають безперервні приватні похідні. Введемо матрицю Якобі приватних похідних:
Заміна змінних у подвійному (1) і потрійному (2) інтеграли виконується за таким алгоритмом:
Записується матриця Якобі і обчислюється її визначник det (J).
Підінтегральна функція перетвориться до нових змінних
f (x, y)=f * (u, v); f (x, y, z)=f * (u, v, w)
Область інтегрування Dxy, Dxyz відображається у відповідну область Duv, Duvw.
Обчислюється інтеграл
Приклад 1. Обчислити
) Введемо узагальнені полярні координати (ОПК):
зокрема, a=b=1? dS=rdrd?
)
) Еліптична область інтегрування в ОПК відображається в одиничний коло r? 1; ? ? [0; 2?], Тому
Приклад2.
? dV=R2sin (?) dRd? d?.
1.6 Геометричні додатки потрійних інтегралів
Геометричне додаток - обчислення об'єму будь-якого просторового тіла.
Обсяг тіла U в декартових координатах Oxyz виражається формулою
В циліндричних координатах об'єм тіла дорівнює
В сферичних координатах, відповідно, використовується формула
Приклад
Знайти об'єм кулі x2 + y2 + z2? R2.
Рішення.
Обчислимо обсяг частини кулі, розташованої в першому Октант (x? 0, y? 0, z? 0), і потім помножимо результат ...
