абсциссами: x=xi *.
впорядкуємо підсумовування в інтегральної сумі
Нескладно помітити, що внутрішня сума являє інтегральну суму для інтеграла від функції однієї змінної - звуження функції f на пряму x=xi *, так що
Після цього, зовнішня сума так само представляє інтегральну суму для інтеграла від функції однієї змінної F (x), так що
При іншому «порядку інтегрування»
Таким чином, обчислення подвійного інтеграла зводиться до двократного інтегруванню функцій однієї змінної, причому (1) внутрішнє інтегрування функції однієї змінної (звуження функції f на координатну лінію: x=const | | OY? g (y)=f (x, y) або y=const | | OX? g (x)=f (x, y)); виконується вздовж відрізка або, змінні межі якого - рівняння ліній, що обмежують область D знизу і зверху або ліворуч і праворуч;
(2) повторне інтегрування (зовнішній інтеграл) функції однієї змінної виконується по відрізку x? [A; b] або y? [C; d], де a, b і c, d - є найменше та найбільше значення «другий» змінної у всій області інтегрування D.
Зауваження. Якщо при вибраному порядку інтегрування межі області уздовж відповідної координатної прямої задаються різними рівняннями («складна область»), область інтегрування слід розбити на «прості частини».
. З властивості адитивності інтеграла випливає, що
Область D1 належить смузі і обмежена знизу лінією yH? 0 і СВЕРХУ - лінією yB (x)=1-x.
Область D2 належить смузі і обмежена знизу лінією yH? 0 і СВЕРХУ - лінією yB (x)=- (верхня півколо).
. При іншому порядку інтегрування:
(в) Так як уздовж лінії y=const межа області D «справа» задається двома різними рівняннями, запишемо інтеграл як суму двох інтегралів
1.3 Обчислення подвійного інтеграла в полярних координатах; узагальнені полярні координати
Розглянемо на площині дві системи координат - прямокутну і полярну.
Рівняння ліній на площині:
2 + y2=a2? r=a; ? ? [0; 2?); =X2? r (?)=sin (?) / cos2 (?) 2 +2 x + y2=0 [(x +1) 2 + y2=1]? r2 +2 rcos (?)=0? r=0;
r (?)=- 2cos (?)
Нехай область інтегрування D? R2 обмежена лініями r=r1 (?), R=r2 (?),? =? 1 і? (D)? [? 1;? 2].
) Введемо розбиття Pn області інтегрування лініями «полярної сітки» r=const (концентричні кола) і?=const (промені) на осередки? ij - «криволінійні прямокутники». При подрібненні разбиений площа осередку дорівнює? Sij=ri? Ri?? J? dS=rdrd?.
) Виберемо в кожному осередку сектора? ? [? J;? J +1] відмічені точки
A (ri *;? j *) з однаковими полярними кутами? j *.
) Впорядкуємо підсумовування в інтегральної сумі
?
?
В результаті граничного переходу при подрібненні разбиений прийдемо до висновку:
«Обчислення подвійного інтеграла в полярних координатах
зводиться до двократного інтегруванню функцій однієї змінної, при цьому
зовнішнє інтегрування виконується по проміжку [? min; ? Max] або [rmin; rmax], межі якого відповідають найменше та найбільше значення однієї змінної у всій області;
