(x)=x 3 (x 2 - 1) при - 1? x? 2.
Необхідна умова оптимальності:
f '(x)=5x 4 - 3x 2=x 2 (5x 2 - 3)=0.
Коріння цього рівняння: х=0,. Приєднуючи до них граничні значення х=- 1 і х=2, отримуємо п'ять стаціонарних точок: 1=- 1, x 2=- 0,775, x 3=0, x 4=0,775, x 5=2.
Оскільки f «(x 1)> 0 і f» (x 5)> 0, у точці x 1 - граничний мінімум, в точці x 5 - граничний максимум. Далі, в точці x 2 друга похідна
отже, це точка локального максимуму, в точці x 4 похідна" " (x 4)=4,66> 0,
значить, це точка локального мінімуму. Далі, в точці x 3: «» (x 3)=0, f «» '(x 3)? 0
Оскільки номер відмінною від нуля похідної - непарне число, в точці x 3 екстремуму немає, тут - перегин.
Приклад 3. Знайти екстремуми функції двох змінних=3x 3 - x + y 3 - 3y 2 - 1.
Необхідні умови оптимальності:
Рішення системи:
Координати чотирьох стаціонарних точок наведені в таблиці:
Координати стаціонарної точкіНомер стаціонарної точки j1234x jyj 0022
Для аналізу достатніх умов оптимальності знаходимо другі похідні від цільової функції:
Рівняння для відшукання власних значень матриці других похідних відповідно з умовою виглядає так:
Якщо частина власних значень позитивна, а інша частина негативна, квадратична форма не визначена. Якщо всі власні значення позитивні, то сволок других похідних позитивно визначена. Власні значення є корінням алгебраїчного рівняння. Результати рішення рівняння для кожної з стаціонарних точок і обумовлені ними характеристики екстремумів наведені в таблиці:
ПараметрНомер стаціонарної точки, j1234Собствение значення l? 6-666 l?- 6-66-6Характер extrextr нетmaxminextr немає
3.2 Метод Лагранжа
Приклад 1. Знайти локальні рішення задачі
Послідовність вирішення:
) формуємо функцію Лагранжа
2) знаходимо вектор перших похідних функції Лагранжа
3) формуємо систему рівнянь для відшукання координат стаціонарних точок
або
4) вирішуємо отриману систему, результати наведені в таблиці:
Координати стаціонарної точкіНомер стаціонарної точки, j123x 1j 01 x 2j 10 yj
5) знаходимо матрицю других похідних функції Лагранжа
Для стаціонарних точок 1-3 ця матриця приймає відповідно наступний вигляд:
,,;
б) знаходимо вектор h, рівняння в даному випадку він виглядає так:
.
Результати його рішення наведені в таблиці:
Значення компонентів вектора hНомер стаціонарної точки, j123h 1j? 0=0? 0h 2j=0? 0 (ah 11, 0) (0, bh 22) (-ah 13,-bh 23)
7) знаходимо твір матриці на вектор h (див. третій ряд...
